遭難者氏の積分
遭難者a.k.a.神鳥奈紗
が
こちら
のツイートで紹介していたこの積分が画像フォルダを整理しているときに出てきたので、解きます.
$$
\int _ 0 ^ {\frac{\pi}{2}} \cos \ln \tan \theta \ d \theta
$$
$$ \begin{align} \int _ 0 ^ {\frac{\pi}{2}} \cos \ln \tan \theta \ d \theta &= \int _ 0 ^ {\frac{\pi}{2}}\Re \ (e^{i \ln \tan \theta}) \ d \theta \\ &= \Re \int_0^\frac{\pi}{2} \tan ^ i \theta \ d \theta \\ &= \Re \int_0^\frac{\pi}{2} \sin ^ i \theta \cos ^ {-i} \theta \ d \theta \\ &= \Re \int_0^\frac{\pi}{2} \sin ^ {2 \ \frac{i+1}{2}-1}\theta \cos^{2 \ \frac{-i+1}{2}-1}\theta \ d \theta \\ &= \Re \left\{\frac{1}{2} \ {\rm{B}}\left(\frac{i+1}{2},\frac{-i+1}{2}\right)\right\} \\ &= \frac12 \Re \left\{\frac{\Gamma\left(\frac{i+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{-i+1}{2}\right)}{\Gamma(1)}\right\} \\ &= \frac12 \Re \left\{\frac{\pi}{\sin\left(\pi\cdot\frac{i+1}{2}\right)}\right\} \\ &= \frac{\pi}{2} \Re \left\{\frac{1}{\sin\frac{i\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{i\pi}{2}}\right\} \\ &= \frac{\pi}{2} \Re \left\{\frac{1}{\cos\frac{i\pi}{2}}\right\} \\ &= \frac{\pi}{2} \Re \left\{\frac{1}{\cosh\frac{\pi}{2}}\right\} \\ &= \frac{\pi}{2} \Re \left\{{\rm{sech}}\frac{\pi}{2}\right\} \\ &= \frac{\pi}{2} {\rm{sech}}\frac{\pi}{2} \end{align} $$
なるべく行間は減らしました.