JMO2021予選　解答解説 (1~4)

JMO,JMO2021予選解答解説

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本番でやらかしてしまったnoyarulerによる禊解説です。ご査収ください。

1.互いに素な正の整数 $m, n$ が $m + n = 90$ を満たすとき, 積 $m n$ としてありうる最大の値を求めよ.

答え　 $2021$

一般性を失わず $m \leq n$ とする。
$m n = m (90 - m) = - m^{2} + 90 m = - (m - 45)^{2} + 2025$
より、これは $m \leq 45$ の範囲で単調増加である。
従って、 $x \leq y \leq 45$ ならば $- (x - 45)^{2} + 2025 \leq - (y - 45)^{2} + 2025$ が言える。 $m = 43, n = 47$ のときに $m, n$ が互いに素であることが分かり、 $m = 45, 44$ のときは $m, n$ は互いに素でないことから、 $m n$ としてありうる最大の値は $43 \times 47 = 2021$ と分かる。

2.下図のような正十角形がある. 全体の面積が $1$ のとき,斜線部の面積を求めよ.

jmo2021y1

答え $\frac{2}{5}$

下図のように点を取る。ただし、点Oは正十角形の中心である。

jmo2021y1a

ここで、直線GOと直線IJは平行なので三角形GIOと三角形GJOの面積は等しい。また、明らかに三角形CDEと三角形GHIの面積は等しいので、求める面積は六角形EFGHIOの面積に等しい。これは正十角形の面積の $\frac{4}{10}$ であるから、求める面積は、 $1 \times \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ と分かる。

3.AB=ACなる二等辺三角形ABCの内部に点Pをとり、Pから辺BC,CA,ABにおろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする.BD $= 9$ ,CD $= 5$ ,PE $= 2$ ,PF $= 5$ のとき,辺ABの長さを求めよ.ただし,XYで線分XYの長さを表すものとする.

答え $4 \sqrt{7}$

下図のように点を取る。ただし、点Jと点Gは線分BC上、点Kは線分AB上、点Lは線分AC上の点で、四角形FPJKと四角形EPGLはそれぞれ長方形である。また、BCの中点をMとする。
jmo2021y3a

XYZで三角形XYZを表すことにする。
まず、ABM∽JBK∽PJD∽PGD∽GCL∽ACMである。
よって、BJ $= 5 x$ とおけば、GC $= 2 x$ が分かる。さらに、JD $=$ DGから、
$9 - 5 x = 5 - 2 x$ を満たすので、 $x = \frac{3}{4}$ が分かる。
次に三平方の定理からBK $= \frac{5 \sqrt{7}}{3}$ が分かる。
BJ $:$ BK=AB $:$ BM から、 $\frac{20}{3} : \frac{5 \sqrt{7}}{3} =$ AB $: 7$ となるので、AB $= 4 \sqrt{7}$ が分かる。

4.黒板に $3$ つの相異なる正の整数が書かれている.黒板に実数 $a, b, c$ が書かれているとき, それぞれを $\frac{b + c}{2}, \frac{c + a}{2}, \frac{a + b}{2}$ に同時に書き換えるという操作を考える.この操作を $2021$ 回行ったところ,最後に黒板に書かれた $3$ つの数はすべて正の整数だった.このとき,最初に書かれていた $3$ つの正の整数の和としてありうる最小の値を求めよ.

答え $3 \times 2^{2021} + 3$

$3$ 実数が相異なれば、操作後の $3$ 実数も相異なることに注意する。
一般性を失わず、 $a < b < c$ とし、 $b - a = x > 0, c - b = y > 0$ とする。
このとき、 $\frac{b + c}{2} = b + \frac{y}{2}, \frac{c + a}{2} = b + \frac{y - x}{2}, \frac{a + b}{2} = b - \frac{x}{2}$ より、 $1$ 回の操作後の $3$ 数を $a^{'}, b^{'}, c^{'} (a^{'} < b^{'} < c^{'})$ とすると、 $a^{'} = b - \frac{x}{2}, b^{'} = b + \frac{y - x}{2}, c^{'} = b + \frac{y}{2}$ が分かる。よって、最初に黒板に書かれていた $3$ つの正の整数を $m - x, m, m + y (x, y > 0)$ とすると、最後に黒板に書かれた $3$ つの数は、 $m - \frac{x}{2^{2021}}, m + (y - x) (1 - \frac{1}{2^{2021}}), m + \frac{y}{2^{2021}}$ となる。これらはすべて正の整数であるから、 $x \equiv y \equiv 0 (\mod 2^{2021})$ が必要。さらに $m - x \geq 1$ より、 $m - x + m + m + y = 3 m + y - x \geq 2 x + y + 3$ (等号は $m = x + 1$ で成立)　となる。したがって、 $x, y$ それぞれを最小化すればよく、 $x = 2^{2021}, y = 2^{2021}$ が分かる。 $m = x + 1 = 2^{2021} + 1$ として、求める値は $3 m + y - x = 3 \times 2^{2021} + 3$ となる。