n=a+11+11+1bを満たす正の整数 n,a,b を求めよう。x=n−a とおく。1x2=1+11+1b より、(1x2−1)2=bb+1 となるので、c=b+1,y=1x2 とおくと、y2−2y+1c=0 となる。α,β=±n−a とおくと、y2−2y+1c=0 の解は、1α2,1β2 で表せる。解と係数の関係より、1α2+1β2=2、 1α21β2=1c より、4a2−2(a2−n)c=2となるので、a2+n=c=(a2−n)2 を得る。この式を n についての2次方程式とみると、n2−(2a2+1)n+a4−a2=0 の判別式 D=8a2+1 は平方数 k2 となる必要がある。k2−2(2a)2=1はペル方程式なので、2の連分数展開によって解を求めることができる。k=3,a=1,n=3のときb=3なので、3=1+11+11+13
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