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JK=Ramanujan (3)

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$\sqrt{n}=a+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b}}}}}$を満たす正の整数 $n,a,b$ を求めよう。
$x=\sqrt{n}-a$ とおく。$\displaystyle\frac{1}{x^2}=1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b}}}$ より、$\left( \displaystyle\frac{1}{x^2}-1 \right)^2=\displaystyle\frac{b}{b+1}$ となるので、$c=b+1,y=\displaystyle\frac{1}{x^2}$ とおくと、$y^2-2y+\displaystyle\frac{1}{c}=0$ となる。
$\alpha , \beta= \pm \sqrt{n} - a$ とおくと、$y^2-2y+\displaystyle\frac{1}{c}=0$ の解は、$\displaystyle\frac{1}{\alpha^2},\displaystyle\frac{1}{\beta^2}$ で表せる。
解と係数の関係より、$\displaystyle\frac{1}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}=2$$\displaystyle\frac{1}{\alpha^2} \displaystyle\frac{1}{\beta^2}=\displaystyle\frac{1}{c}$ より、$\displaystyle\frac{4a^2-2(a^2-n)}{c}=2$となるので、$a^2+n=c=(a^2-n)^2$ を得る。この式を $n$ についての2次方程式とみると、$n^2-(2a^2+1)n+a^4-a^2=0$ の判別式 $D=8a^2 +1$ は平方数 $k^2$ となる必要がある。
$k^2-2(2a)^2=1$はペル方程式なので、$\sqrt{2}$の連分数展開によって解を求めることができる。
$k=3,a=1,n=3$のとき$b=3$なので、$\sqrt{3}=1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}}}$

投稿日:2021112

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DIO
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