JK=Ramanujan (3)

$\sqrt{n}=a+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b}}}}}}}$を満たす正の整数 $n,a,b$ を求めよう。
$x=\sqrt{n}-a$ とおく。${\displaystyle \frac{1}{x^2}=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b}}}}}$ より、${\left({\displaystyle \frac{1}{x^2}-1}\right)}^2={\displaystyle \frac{b}{b+1}}$ となるので、$c=b+1,y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ とおくと、$y^2-2y+{\displaystyle \frac{1}{c}=0}$ となる。
$\alpha ,\beta =\pm \sqrt{n}-a$ とおくと、$y^2-2y+{\displaystyle \frac{1}{c}=0}$ の解は、${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2},{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}}$ で表せる。
解と係数の関係より、${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}=2}}$、 ${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}={\displaystyle \frac{1}{c}}}}$ より、${\displaystyle \frac{4a^2-2(a^2-n)}{c}=2}$となるので、$a^2+n=c=(a^2-n{)}^2$ を得る。この式を $n$ についての2次方程式とみると、$n^2-(2a^2+1)n+a^4-a^2=0$ の判別式 $D=8a^2+1$ は平方数 $k^2$ となる必要がある。
$k^2-2(2a{)}^2=1$はペル方程式なので、$\sqrt{2}$の連分数展開によって解を求めることができる。
$k=3,a=1,n=3$のとき$b=3$なので、$\sqrt{3}=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}}}}}$