積分解説04
2020/08/06に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1291334440119984129?s=21
$$ \displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin^2 x}{x}dx $$
[解説]
$
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin^2x}xdx\\
&=&\int_0^\infty \frac{e^{-x}}x \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t}\sin^2txdtdx\\
&=&\int_0^\infty \frac{e^{-x}}x\int_0^1 2x\sin tx\cos tx dtdx\\
&=&\int_0^\infty e^{-x} \int_0^1 \sin2txdtdx\\
&=&\int_0^1\int_0^\infty e^{-x}\sin2txdxdt\\
&=&\int_0^1 \mathcal{L}[\sin2tx](1)dt\\
&=&\left.\int_0^1\frac{2t}{s^2+4t^2} dt\right|_{s=1}\\
&=&\int_0^1 \frac{2t}{1+4t^2}dt\\
&=&\frac12\int_0^{\arctan2}\tan\theta d\theta&\left(t=\frac12\tan\theta \right)\\
&=&-\frac12 \left[\log\cos\theta\right]_{0}^{\arctan2}\\
&=&-\frac12\log\cos\arctan2\\
&=&-\frac12\log\frac1{\sqrt{1+2^2}}\\
&=&\frac14\log5
\end{eqnarray*}
$
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac14\log5$となります。