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積分解説04

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

2020/08/06に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1291334440119984129?s=21

$$ \displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin^2 x}{x}dx $$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin^2x}xdx\\ &=&\int_0^\infty \frac{e^{-x}}x \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t}\sin^2txdtdx\\ &=&\int_0^\infty \frac{e^{-x}}x\int_0^1 2x\sin tx\cos tx dtdx\\ &=&\int_0^\infty e^{-x} \int_0^1 \sin2txdtdx\\ &=&\int_0^1\int_0^\infty e^{-x}\sin2txdxdt\\ &=&\int_0^1 \mathcal{L}[\sin2tx](1)dt\\ &=&\left.\int_0^1\frac{2t}{s^2+4t^2} dt\right|_{s=1}\\ &=&\int_0^1 \frac{2t}{1+4t^2}dt\\ &=&\frac12\int_0^{\arctan2}\tan\theta d\theta&\left(t=\frac12\tan\theta \right)\\ &=&-\frac12 \left[\log\cos\theta\right]_{0}^{\arctan2}\\ &=&-\frac12\log\cos\arctan2\\ &=&-\frac12\log\frac1{\sqrt{1+2^2}}\\ &=&\frac14\log5 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac14\log5$となります。

投稿日:2020117

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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