整理すると、 より
となるので、両辺をで割って、
の解を求めればよい。(ペル方程式)
により、例えば が得られるので、 から次の答えが得られる。
一般の解は求められるだろうか?
の整数解について、である。
とおくと、
ここで、とは互いに素(ただしは以上とする)であることを考慮すると、とが互いに素でなければ、それらの最大公約数はであるから、この場合は両辺をで割ってペル方程式にすればよい。
とが互いに素の場合は、ピタゴラスの3つ組
を考える。である。
- の場合
このとき で考えると、となるが、で乗してとなる整数は存在しないので解はない。 - の場合
となるが、
だから、はの倍数である。
がの倍数なら、両辺をで割れば、となるのでペル方程式に帰着できる。
がの倍数なら、となるのでペル方程式に帰着できる。
結局のところ、ペル方程式にたどり着く。
例えば、最も単純なから、
を得るので、
より、 が得られる。
(1)を整理すると、
より、 と考えてよい。
(2)でとおくと、右辺はとなるので、 とおくことで、と考えてよい。
そこで、3次曲線上の有理点の問題と考えられるが、整数解を効率よく求めるにはどうすればよいのだろうか?