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大学数学基礎解説
文献あり

JK=Ramanujan (2)

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整数解を求めよ

$\displaystyle{\frac{m!n!}{(n-1)!(m+1)!}=\frac{10^N m+n}{10^{N+1}(n-1)+m+1}}$

整理すると、$10n(n-1)=m(m+1)$ より
$10(2n-1)^2=(2m+1)^2+9$ となるので、両辺を$9$で割って、
$y^2-10x^2=-1$ の解を求めればよい。(ペル方程式)
$\sqrt{10}=3+\frac{1}{6+\frac{1}{6+\cdots}}$ により、例えば$117^2-10*37^2=-1$ が得られるので、$n=56,m=175$ から次の答えが得られる。
$\displaystyle{\frac{175!56!}{55!176!}=\frac{17556}{55176}}$
一般の解は求められるだろうか?
$10a^2-b^2=9$ の整数解について、$b=\pm1 (\mod 10)$である。
$b=10k+\epsilon (\epsilon=\pm1)$とおくと、$a^2=10k^2+2 \epsilon k+1 = (k+ \epsilon)^2 +(3k)^2$
ここで、$k+ \epsilon$$k$は互いに素(ただし$k$$3$以上とする)であることを考慮すると、$k+ \epsilon$$3k$が互いに素でなければ、それらの最大公約数は$3$であるから、この場合は両辺を$9$で割ってペル方程式にすればよい。
$k+ \epsilon$$3k$が互いに素の場合は、ピタゴラスの3つ組
$A^2+B^2 , 2AB , A^2-B^2$ を考える。$a=A^2+B^2$である。

  • $2AB=k+\epsilon , A^2-B^2=3k$ の場合
    $3\epsilon=6AB-A^2+B^2=10B^2-(A-3B)^2$
    このとき$\mod 5$ で考えると、$\pm 3 \equiv -(A-3B)^2$となるが、$\mod5$$2$乗して$\pm 3$となる整数は存在しないので解はない。
  • $2AB=3k , A^2-B^2=k+\epsilon$ の場合
    $9\epsilon=9A^2-9B^2-6AB=(3A-B)^2-10B^2$となるが、
    $2AB=3k$だから、$AB$$3$の倍数である。
    $B$$3$の倍数なら、両辺を$9$で割れば、$\epsilon=(A-\frac{B}{3})^2-10(\frac{B}{3})^2$となるのでペル方程式に帰着できる。
    $A$$3$の倍数なら、$\epsilon=A^2-B^2-2\frac{A}{3}B=10(\frac{A}{3})^2-(B+\frac{A}{3})^2$となるのでペル方程式に帰着できる。

結局のところ、ペル方程式$y^2-10x^2=\pm 1$にたどり着く。
例えば、最も単純な$3^2-10*1^2=-1$から、
$A=3,B=2,\epsilon=1,k=4,b=41,a=13$を得るので、
$2n-1=13 , 2m+1=41$ より、$n=7 , m=20$ が得られる。
$\displaystyle{\frac{20!7!}{6!21!}=\frac{207}{621}}$

整数解を求めよ

(1)$4n(n-1)=8(m-1)m(m+1)$
 (2)$(m-1)m(m+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)$

(1)を整理すると、
$(2n-1)^2-1=8m(m^2-1)$ より、$y^2=8x^3-8x+1$ と考えてよい。
(2)で$\displaystyle{n=\frac{N-1}{2}}$とおくと、右辺は$\displaystyle{\left ( \frac{N^2-5}{4} \right )^2-1}$となるので、$x=m , y=\displaystyle{\frac{N^2-5}{4}}$ とおくことで、$y^2=x^3-x+1$と考えてよい。
そこで、3次曲線上の有理点の問題と考えられるが、整数解を効率よく求めるにはどうすればよいのだろうか?

参考文献

[1]
上野 健爾 , 代数幾何入門
投稿日:2021112

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DIO
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