平方根の加法性とその応用

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$$\sqrt{\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^2-b})}+\sqrt{\frac{1}{2}(a-\sqrt{a^2-b})}=\sqrt{a+\sqrt{b}}$$(proof)
$$(左辺{)}^2=\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^2-b})+\frac{1}{2}(a-\sqrt{a^2-b})+2\sqrt{\frac{1}{4}(a+\sqrt{a^2-b})(a-\sqrt{a^2-b})}$$$$=a+\sqrt{b}={(\sqrt{a+\sqrt{b}})}^2$$ $$よって(左辺)=\sqrt{a+\sqrt{b}}$$この等式を利用して以下を示す
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^2-1}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1)$$(proof)$上記で示した等式に,a=k,b=k^2-1を代入し得る変形から$$$\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^2-1}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}(k+1)}+\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1})$$$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^2-1}}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1})$$$$さらに\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sum _{k=3}^{n+2}\sqrt{k-1}-\sum _{k=1}^n\sqrt{k-1})であるから$$$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^2-1}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1)$$