2
大学数学基礎解説
文献あり

調和級数が発散することの証明

224
0
$$$$

調和級数が発散することの証明
$$\sum_{n=1}^{r^{l}} a_n=a_1 + \sum_{k=1}^l {\sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} a_n}= a_1+a_2+ \cdots +a_r+\cdots+a_{r^{l-1}+1}+ \cdots+a_{r^l}$$この変形を利用して以下を示す。$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$$自然数:k,r
(rは1より大きい自然数)に対して、不等式$r^{k-1} ≦n≦r^{k} $を満たす自然数を考える。

このようなnに対しては$\frac{1}{n} ≧ \frac{1}{r^{k}}$であるので。
$$\sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} \frac{1}{n} ≧ \sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} \frac{1}{r^{k}}=\frac{r-1}{r}$$したがって、第$r^{l}$部分和$S_{r^{l}}$に対して
$$S_{r^{l}}=\sum_{n=1}^{r^{l}}\frac{1}{n}=1+\sum_{k=1}^{l} {\sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} \frac{1}{n}} ≧1+\frac{r-1}{r}*l$$が成立し $lim_{l \to \infty} S_{r^{l}}=+\infty $ となる。さらに数列 $\{S_n \} $ は単調増加であるから$lim_{n \to \infty} S_n =\infty $ が得られ
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=+\infty$$ となる。

参考文献

[1]
山形大学 数理科学科, 微分積分入門, 裳華房
投稿日:2021112

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

Ldishu
Ldishu
4
3168

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中