調和級数が発散することの証明

調和級数が発散することの証明
$$\sum_{n=1}^{r^{l}} a_n=a_1 + \sum_{k=1}^l {\sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} a_n}= a_1+a_2+ \cdots +a_r+\cdots+a_{r^{l-1}+1}+ \cdots+a_{r^l}$$この変形を利用して以下を示す。$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$$自然数:k,r
(rは１より大きい自然数）に対して、不等式$r^{k-1} ≦n≦r^{k} $を満たす自然数を考える。

このようなｎに対しては$\frac{1}{n} ≧ \frac{1}{r^{k}}$であるので。
$$\sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} \frac{1}{n} ≧ \sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} \frac{1}{r^{k}}=\frac{r-1}{r}$$したがって、第$r^{l}$部分和$S_{r^{l}}$に対して
$$S_{r^{l}}=\sum_{n=1}^{r^{l}}\frac{1}{n}=1+\sum_{k=1}^{l} {\sum_{n=r^{k-1}+1}^{r^{k}} \frac{1}{n}} ≧1+\frac{r-1}{r}*l$$が成立し　$lim_{l \to \infty} S_{r^{l}}=+\infty $　となる。さらに数列　$\{S_n \} $　は単調増加であるから$lim_{n \to \infty} S_n =\infty $　が得られ
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=+\infty$$ となる。