調和級数が発散することの証明

調和級数が発散することの証明
$$\sum _{n=1}^{r^l}{a}_n=a_1+\sum _{k=1}^l\sum _{n=r^{k-1}+1}^{r^k}{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_r+\cdots +a_{r^{l-1}+1}+\cdots +a_{r^l}$$この変形を利用して以下を示す。$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=+\mathrm{\infty }$$自然数:k,r
(rは１より大きい自然数）に対して、不等式$r^{k-1}\leqq n\leqq r^k$を満たす自然数を考える。

このようなｎに対しては$\frac{1}{n}\geqq \frac{1}{r^k}$であるので。
$$\sum _{n=r^{k-1}+1}^{r^k}\frac{1}{n}\geqq \sum _{n=r^{k-1}+1}^{r^k}\frac{1}{r^k}=\frac{r-1}{r}$$したがって、第$r^l$部分和$S_{r^l}$に対して
$$S_{r^l}=\sum _{n=1}^{r^l}\frac{1}{n}=1+\sum _{k=1}^l\sum _{n=r^{k-1}+1}^{r^k}\frac{1}{n}\geqq 1+\frac{r-1}{r}\ast l$$が成立し　$li{m}_{l\to \mathrm{\infty }}{S}_{r^l}=+\mathrm{\infty }$　となる。さらに数列　$\{S_n\}$　は単調増加であるから$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{S}_n=\mathrm{\infty }$　が得られ
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=+\mathrm{\infty }$$ となる。