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Collatz problemの考察

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Collatz problemとは

 Collatz problemとは、数学上現在において未解決問題とされるもので、予想はされているが証明できていないものである。これは、次のようなものである

問題内容

 まず前提事項として、この問題は数列の問題であり、使用する数字は自然数のみである。
 ある任意の自然数$n$について、次のような手順で数列を決めていく。
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n=偶数の時nを\frac{1}{2}  \\ n=奇数の時nを\times3+1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
この時、初期の$n$がどのような値であろうと、最後には$1$に辿り着く。また、その後は$1,2,4$をループする。

考察

 考察といっても大した内容ではない事はご了承願いたい。

まず第一に、この問題が真とした時、開始の値として証明には偶数はいらない。何故なら、約数を求めた時、もしそれが偶数のみで形成されているならば即座に$1$へとたどり着くし、奇数を含んでいた場合、奇数のところまで直線的に変動するからだ。
 この時、まず偶数のみの数列を作る。この偶数のみの数列に$n$がきたら、結果はこの問題の予想通りになることに留意する。
 次に、任意の素数が任意の数だけ混じった、その$2m$倍の数列を考える。同様に、この数列に入った$n$は素数の積の値まで直線的に進む事になる。
 さて、ここで奇数に達した時の操作を見てみたい。奇数である$n$$3$倍して$+1$するということは、奇数同士の積に$1$を加算している為、必ず偶数になる。そして、この偶数になった$n$と元の$n$について約数を調べると、先程の素数と$2m$の積の数列と$3n+1$のによって入った数列が異なることが伺える。つまり、$3n+1$によって数列が強制的に変異させられ、これが$2m$のみの数列になるまで続く為、最後は$1$になると考えられる。

 このようなことは誰でも考えているだろう内容だが、これを如何にして証明するべきか、知恵を借りたいものだ。

投稿日:2021112

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lent
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どこにでもいるような普通の人。自身の学習の意も込めて書いている為、たまに突拍子も無い文になることがあるので注意(めんどくさくなったからという時もある)

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