文献あり

ヘンテコな正三角形の定義とポンペイウの定理~「エレガントな解答をもとむ」との関連も~

187

いつだったかに思いついた正三角形の特徴づけについて書きます．我々がよく知る定義である $A B = B C = C A$ と同値なことを見ましょう．

三角形 $A B C$ が正三角形である
$⟺$ $A, B, C$ と共円でないどんな点 $P$ を取っても $P A, P B, P C$ を三辺の長さとする三角形が常に存在する $\dots (⋆)$

i ) $(⋆) ⟹ A B = B C = C A$
$B C$ が最短辺であるとして一般性を失いません．両端を除く線分 $B C$ 上の点 $D$ と $A$ との距離の上限は $max {A B, A C}$ であり， $D A, D B, D C$ が三角不等式を満たすとき $D A < D B + D C = B C$ であることから $B C \geq max {A B, A C}$ が必要でこれは三辺の長さが等しいことを意味します．

ii ) $A B = B C = C A ⟹ (⋆)$ (Pompeiu,1936)
三角形 $A B C$ の外接円周上にない任意の点 $P$ を取り， $A, P$ を図のように $C$ を中心に $60^{\circ}$ 回転させて得られる点を $A^{'}, P^{'}$ とします．
すると，三角形 $P A P^{'}$ は $P A = P A, P^{'} A = P B, P P^{'} = P C$ となり $(⋆)$ を満たします． $◼$
diagram1