積分解説27

2021/01/14に あますく さんがツイートした問題です。

https://twitter.com/am2ik_/status/1349690457563910147?s=21

ここでの${\displaystyle \left[x\right]}$はガウス記号です。実数$x$に対してただ一つ存在する$n\le x<n+1$を満たす整数$n$を返します。$x$が正の数である場合はその数の整数部分を返す、と考えると良いかもしれません。

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^1(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right])dx\\ & =& {\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{t}-\frac{[t]}{t^2})dt(t=\frac{1}{x})\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_1^n\frac{1}{t}dt-\sum _{k=1}^{n-1}{\int }_k^{k+1}\frac{[t]}{t^2}dt)\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_1^n\frac{1}{t}dt-\sum _{k=1}^{n-1}{\int }_k^{k+1}\frac{k}{t^2}dt)\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_1^n\frac{1}{t}dt-\sum _{k=1}^{n-1}k{[-\frac{1}{t}]}_k^{k+1})\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_1^n\frac{1}{t}dt-\sum _{k=1}^{n-1}k(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}))\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_1^n\frac{1}{t}dt-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k+1})\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_1^n\frac{1}{t}dt-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k})+1\\ & =& 1-\gamma \end{array}$

よって、この問題の解答は$1-\gamma$になります。