積分解説27

2021/01/14に あますく さんがツイートした問題です。

https://twitter.com/am2ik_/status/1349690457563910147?s=21

ここでの$\d\left[x\right]$はガウス記号です。実数$x$に対してただ一つ存在する$n\le x\f n+1$を満たす整数$n$を返します。$x$が正の数である場合はその数の整数部分を返す、と考えると良いかもしれません。

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\i1\l\frac1x-\left[\frac1x\right]\r dx\\ &=&\int_1^\infty\l\frac1t-\frac{[t]}{t^2} \r dt~~~~~~~~~~\l t=\frac1x\r\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\l\int_1^n\frac1tdt-\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}\frac{[t]}{t^2}dt \r\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\l\int_1^n\frac1tdt-\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}\frac{k}{t^2}dt \r\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\l\int_1^n\frac1tdt-\sum_{k=1}^{n-1}k\left[-\frac1t \right]_k^{k+1} \r\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\l\int_1^n\frac1tdt-\sum_{k=1}^{n-1}k\l\frac1k-\frac1{k+1} \r \r\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\l\int_1^n\frac1tdt-\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{k+1}\r\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\l\int_1^n\frac1tdt-\sum_{k=1}^n\frac1k\r+1\\ &=&1-\gamma \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$1-\gamma$になります。