方程式について、を有理数体上の3次の代数的数とし、を整数と仮定する。このときとしてありうる整数は、に限られることを以下に説明する。
の係数の最小多項式について、はの根でもあるので、係数は整数としてよい。
より、
ここでとおく。
より、を得る。
と一致しなければならないので、係数を比較すると、である。ゆえに、となる。と置き換えると、の最小多項式はとなるので、のときだけ考えれば十分である。
まとめると、を得る。この式はが偶数であることを示しているので、とおくと、
この式を展開すると、となるので、はの倍数であることが分かる。したがって、と表せるので、より、を得る。さらにこの式から、を得る。
とは互いに素なので、となる整数が存在する。
そこで、次の定理が成り立つことを認める。
の全ての整数解は
の全ての整数解は
(3)の全ての整数解は
(4)の全ての整数解は