Heegner number

方程式${\alpha }^{12}-\gamma {\alpha }^4-16=0$について、$\alpha$を有理数体$\mathbb{Q}$上の3次の代数的数とし、$\gamma$を整数と仮定する。このとき$\gamma$としてありうる整数は、$0,-32,-96,-960,-5280,-640320$に限られることを以下に説明する。
$\alpha$の$\mathbb{Q}$係数の最小多項式$x^3+a{x}^2+bx+c$について、$\alpha$は$x^{12}-\gamma x^4-16=0$の根でもあるので、係数$a,b,c$は整数としてよい。
$({\alpha }^3+b\alpha {)}^2=(a{\alpha }^2+c{)}^2$より、${\alpha }^6+(2b-a^2){\alpha }^4+(b^2-2ac){\alpha }^2-c^2=0$
ここで$A=2b-a^2,B=b^2-2ac,C=-c^2$とおく。
$({\alpha }^6+B{\alpha }^2{)}^2=(A{\alpha }^4+C{)}^2$より、${\alpha }^{12}+(2B-A^2){\alpha }^8+(B^2-2AC){\alpha }^4-C^2=0$を得る。
${\alpha }^{12}-\gamma {\alpha }^4-16=0$と一致しなければならないので、係数を比較すると、$2B-A^2=0,B^2-2AC=-\gamma ,-C^2=-16$である。ゆえに、$C=-4,c=\pm 2$となる。$\beta =-\alpha$と置き換えると、$\beta$の最小多項式は$x^3-a{x}^2+bx-c$となるので、$c=2$のときだけ考えれば十分である。
まとめると、$2(b^2-4a)=(2b-a^2{)}^2$を得る。この式は$a$が偶数であることを示しているので、$a=2k$とおくと、$b^2-8k=2(b-2k^2{)}^2$
この式を展開すると、$b^2-8k=2(b^2-4b{k}^2+4k^4)$となるので、$b^2$は$8$の倍数であることが分かる。したがって、$b=4l$と表せるので、$16l^2-8k=2(16l^2-16l{k}^2+4k^4)$より、$-k=2l^2-4l{k}^2+k^4$を得る。さらにこの式から、$k(k^3-1)=k^4-k=2l^2-4l{k}^2+2k^4=2(l-k^2{)}^2$を得る。
$k$と$k^3-1$は互いに素なので、$k^3-1=\pm m^2,\pm 2m^2$となる整数$m$が存在する。
そこで、次の定理が成り立つことを認める。