Heegner number

方程式$\alpha^{12}-\gamma \alpha^4-16=0$について、$\alpha$を有理数体$\mathbb{Q}$上の3次の代数的数とし、$\gamma$を整数と仮定する。このとき$\gamma$としてありうる整数は、$0,-32,-96,-960,-5280,-640320$に限られることを以下に説明する。
$\alpha$の$\mathbb{Q}$係数の最小多項式$x^3+ax^2+bx+c$について、$\alpha$は$x^{12}-\gamma x^4-16=0$の根でもあるので、係数$a,b,c$は整数としてよい。
$(\alpha^3+b\alpha)^2=(a\alpha^2+c)^2$より、$\alpha^6+(2b-a^2)\alpha^4+(b^2-2ac)\alpha^2-c^2=0$
ここで$A=2b-a^2,B=b^2-2ac,C=-c^2$とおく。
$(\alpha^6+B\alpha^2)^2=(A\alpha^4+C)^2$より、$\alpha^{12}+(2B-A^2)\alpha^8+(B^2-2AC)\alpha^4-C^2=0$を得る。
$\alpha^{12}-\gamma \alpha^4-16=0$と一致しなければならないので、係数を比較すると、$2B-A^2=0,B^2-2AC=-\gamma,-C^2=-16$である。ゆえに、$C=-4 , c=\pm 2$となる。$\beta=-\alpha$と置き換えると、$\beta$の最小多項式は$x^3-ax^2+bx-c$となるので、$c=2$のときだけ考えれば十分である。
まとめると、$2(b^2-4a)=(2b-a^2)^2$を得る。この式は$a$が偶数であることを示しているので、$a=2k$とおくと、$b^2-8k=2(b-2k^2)^2$
この式を展開すると、$b^2-8k=2(b^2-4bk^2+4k^4)$となるので、$b^2$は$8$の倍数であることが分かる。したがって、$b=4l$と表せるので、$16l^2-8k=2(16l^2-16lk^2+4k^4)$より、$-k=2l^2-4lk^2+k^4$を得る。さらにこの式から、$k(k^3-1)=k^4-k=2l^2-4lk^2+2k^4=2(l-k^2)^2$を得る。
$k$と$k^3-1$は互いに素なので、$k^3-1=\pm m^2,\pm2m^2$となる整数$m$が存在する。
そこで、次の定理が成り立つことを認める。