(1+0)^∞

不定形の形が(1±0)^∞の形であることから、eの定義に持ち込みたいわけですが、
$$(与式)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({(1+\frac{1}{x^2})}^{x^2}\right)}^{\frac{1}{x}}よりx\to \infty で\frac{1}{x}\to 0,(1+\frac{1}{x^2}{)}^{x^2}\to eより、e^0=1から求める極限値は１である.$$
実はよくやってしまいがちなことですが、この答案は若干怪しいです.
というのも、

上の命題は偽であるからです.
反例としては,f(x)=g(x)=1/xなどですね
今回の場合、指数部分1/xがメンドーなので、こいつを処理するためにlogをとることは、発想自体は難しいことではないでしょう.
以下解答
y=logxのグラフはx>0で連続であることから、limとlogは交換可$\cdots$①
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\log {\left({(1+\frac{1}{x^2})}^{x^2}\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}\log {(1+\frac{1}{x^2})}^{x^2}=0$$
①より、求める極限値は１