(1+0)^∞
次の極限値を求める
$$
\lim_{x \to \infty}
\left( 1+ \frac{1}{x^{2}} \right) ^{x}
$$
不定形の形が(1±0)^∞の形であることから、eの定義に持ち込みたいわけですが、
$$(与式)=\lim_{x \to \infty}
\left(\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)^{x^{2}} \right)^{\frac{1}{x}}
より x \rightarrow ∞で \frac{1}{x } \rightarrow 0,
(1+\frac{1}{x^{2} })^{x^{2}} \rightarrow eより、e^{0}=1から求める極限値は１である.
$$
実はよくやってしまいがちなことですが、この答案は若干怪しいです.
というのも、
$$ \lim_{x \to \infty}f(x)=\alpha , \lim_{x \to \infty}g(x)= \beta ならば \lim_{x\to \infty}f(x)^{g(x)}= \alpha ^{ \beta } $$
上の命題は偽であるからです.
反例としては,f(x)=g(x)=1/xなどですね
今回の場合、指数部分1/xがメンドーなので、こいつを処理するためにlogをとることは、発想自体は難しいことではないでしょう.
以下解答
y=logxのグラフはx>0で連続であることから、limとlogは交換可$ \cdots $①
$$
\lim_{x\to \infty} \log \left( \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right) ^{x^{2}}\right)^{\frac{1}{x}}= \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} \log \left( 1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} =0
$$
①より、求める極限値は１