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最近しばらく数学してなくて, 久しぶりになにかおもしろい問題が解きたい気分になったので, 僕がまあまあ得意な関数方程式を解きたいと思います.
問題
$f(x)$は実数に対して定義された実数値をとる関数であって, すべての実数$x,y$に対して
$$\begin{eqnarray}
f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y
\end{eqnarray}$$
が成立する. $f(x)$としてありうるものをすべて求めよ.
解答
- まず任意の$a\in\mathbb{R}$に対し, $y=a-f(x)^2$とすると,
$$\begin{eqnarray}
f(xf(x)+f(a-f(x)^2))=a
\end{eqnarray}$$
なので, $f$は全射である. - $f$は全射なので, $f(a)=0$となる$a\in\mathbb{R}$が存在する. 与えられた式で$x=a$とすると,
$$\begin{eqnarray}
f(f(y))=y
\end{eqnarray}$$
である. - 上の式をもちいて,
$$\begin{eqnarray}
f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y
\end{eqnarray}$$ において, $x$を$f(x)$に置き換えることにより,
$$\begin{eqnarray}
f(xf(x)+f(y))=x^2+y
\end{eqnarray}$$
これらを合わせて, $f(x)^2=x^2$ - ともに$0$でない$a, b\in\mathbb{R}$があって, $f(a)=a, f(b)=-b$であるとする. このとき, 与えられた式で$x=a, y=b$とすると, $f(a^2-b)=a^2+b$. 一方, 任意の$f(a^2-b)=a^2-b$または$f(a^2-b)=-a^2+b$であるが, これは$a, b\neq 0$に矛盾. よって, 解の候補は$f(x)=x$と$f(x)=-x$の2つであり, これらが実際に満たすことは容易にわかる.
感想
意外とすんなりいった気がします.