2004年JMO本選第2問を解いてみた

最近しばらく数学してなくて, 久しぶりになにかおもしろい問題が解きたい気分になったので, 僕がまあまあ得意な関数方程式を解きたいと思います.

問題

$f(x)$は実数に対して定義された実数値をとる関数であって, すべての実数$x,y$に対して
$$\begin{eqnarray} f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y \end{eqnarray}$$
が成立する. $f(x)$としてありうるものをすべて求めよ.

解答

1. まず任意の$a\in\mathbb{R}$に対し, $y=a-f(x)^2$とすると,
   $$\begin{eqnarray} f(xf(x)+f(a-f(x)^2))=a \end{eqnarray}$$
   なので, $f$は全射である.
2. $f$は全射なので, $f(a)=0$となる$a\in\mathbb{R}$が存在する. 与えられた式で$x=a$とすると,
   $$\begin{eqnarray} f(f(y))=y \end{eqnarray}$$
   である.
3. 上の式をもちいて,
   $$\begin{eqnarray} f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y \end{eqnarray}$$ において, $x$を$f(x)$に置き換えることにより,
   $$\begin{eqnarray} f(xf(x)+f(y))=x^2+y \end{eqnarray}$$
   これらを合わせて, $f(x)^2=x^2$
4. ともに$0$でない$a, b\in\mathbb{R}$があって, $f(a)=a, f(b)=-b$であるとする. このとき, 与えられた式で$x=a, y=b$とすると, $f(a^2-b)=a^2+b$. 一方, 任意の$f(a^2-b)=a^2-b$または$f(a^2-b)=-a^2+b$であるが, これは$a, b\neq 0$に矛盾. よって, 解の候補は$f(x)=x$と$f(x)=-x$の2つであり, これらが実際に満たすことは容易にわかる.

感想

意外とすんなりいった気がします.