最近しばらく数学してなくて, 久しぶりになにかおもしろい問題が解きたい気分になったので, 僕がまあまあ得意な関数方程式を解きたいと思います.
問題
は実数に対して定義された実数値をとる関数であって, すべての実数に対して
が成立する. としてありうるものをすべて求めよ.
解答
- まず任意のに対し, とすると,
なので, は全射である. - は全射なので, となるが存在する. 与えられた式でとすると,
である. - 上の式をもちいて,
において, をに置き換えることにより,
これらを合わせて, - ともにでないがあって, であるとする. このとき, 与えられた式でとすると, . 一方, 任意のまたはであるが, これはに矛盾. よって, 解の候補はとの2つであり, これらが実際に満たすことは容易にわかる.
感想
意外とすんなりいった気がします.