2006年JMO本選第3問を解いてみた

久しぶりに数学したら楽しいですね.

問題

実数に対して定義され, 実数値をとる関数$f$であって, 任意の$x,y$に対して
$$\begin{array}{r}f(x{)}^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x))\end{array}$$
を満たすものをすべて求めよ.

解答

1. 与えられた式を変形して,
   $$\begin{array}{r}f(y{)}^2-y^2=f(y+f(x))-(y+f(x){)}^2\end{array}$$
   $c(x)=f(x)-x^2$と置くと,
   $$\begin{array}{r}c(y)=c(y+x^2+c(x))\end{array}$$

2. ここで, 任意の$x\in \mathbb{R}$に対し, $c(x+w)=c(x)$を満たす$w$全体の集合を$W$とする. このとき, 上の式より任意の$x\in \mathbb{R}$に対し, $x^2+c(x)\in W$. また明らかに$a,b\in W$ならば, $a-b\in W$であることがわかる.

3. $W=\{0\}$ならば, 任意の$x$に対し, $x^2+c(x)=0$であるから, $c(x)=-x^2$, つまり, $f(x)=0$

4. $W\ne \{0\}$とする. このとき, $0$でない$a\in W$が存在する. 任意の$x\in \mathbb{R}$に対し, $x^2+c(x),(x+a{)}^2+c(x+a)\in W$で, $c(x)=c(x+a)$より, その差を考えて, $a^2+2ax=(x+a{)}^2-x^2\in W$. $x$が任意だったから, $W=\mathbb{R}$, つまり$c(x)$は定数関数である. よって, $f(x)=x^2+c$($c$は定数)であり, これは与えられた式を満たす.

感想

すごいおもしろかったです.