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一般化の証明01

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

はじめに

この記事では、

$$\displaystyle\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k-1 \right)}=\zeta(n)\Gamma(n+1)$$

この一般化の証明を書きます。

証明

$ \begin{align} &\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k-1 \right)}\\ =&\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k}\int_0^1x^{\displaystyle\Sigma_{k=1}^na_k-2}dx\\ =&\int_0^1 \frac1{x^2}\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac{x^{\displaystyle\Sigma_{k=1}^na_k}}{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k}dx\\ =&\int_0^1 \frac{(-\log(1-x))^n}{x^2}dx\\ =&\int_0^1 (-\log x)^n\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1} dx\\ =&\sum_{k=1}^\infty k\int_0^\infty t^ne^{-kt}dt\\ =&\zeta(n)\Gamma(n+1)\\ \end{align} $

よって、$\displaystyle\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k-1 \right)}=\zeta(n)\Gamma(n+1)$が示されました。□

投稿日:2020117

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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