一般化の証明01

はじめに

この記事では、

この一般化の証明を書きます。

証明

$\begin{array}{rl}& \sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k-1}\right)}}\\ =& \sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k}}{\int }_0^1{x}^{{\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{a}_k-2}}dx\\ =& {\int }_0^1\frac{1}{x^2}\sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{x^{{\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{a}_k}}}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k}}dx\\ =& {\int }_0^1\frac{(-\log (1-x){)}^n}{x^2}dx\\ =& {\int }_0^1(-\log x{)}^n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{x}^{k-1}dx\\ =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-kt}dt\\ =& \zeta (n)\mathrm{\Gamma }(n+1)\end{array}$

よって、${\displaystyle \sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k-1}\right)}}=\zeta (n)\mathrm{\Gamma }(n+1)}$が示されました。□