cosh, sinhのお話

はじめに

この記事では, 受験生の方向けに, 共通テストで出たと噂の$\cosh ,\sinh$のお話をしようと思います. 数Ⅲから暫く離れていた方も多いと思うので, 読んでもらえたらいいなと思います.
$$

定義

と定義します.

これらは, 双曲線関数と呼ばれます. この由来は後に書くことにします.

読み方は, 正式には「はいぱぼりっくこさいん/さいん」が正しいようですが, 私は「こっしゅ/しゃいん」と読んでいます. (そうすると$\tanh$は何と読むのでしょうか...)

これを用いると, 共通テストで出た関数は
$$f(x)=\cosh (\log 2\cdot x)$$
$$g(x)=\sinh (\log 2\cdot x)$$
となります.

基本的な性質

まずは具体的な値を求めてみます.

これは三角関数と同じですね.

また, 定義より明らかに$\cosh$は偶関数, $\sinh ,\tanh$は奇関数となります. これも三角関数と同じですね.
$$

グラフの概形は, 以下のようになります. ( Wikipedia より )

双曲線関数

これは三角関数とは全く違いますね.
$$

次に, 微分に関する性質を考えてみると

となります. 三角関数の場合と少し違いますが, 互いに移り合うという関係は同じですね.

寧ろ, 双曲線関数では微分にマイナスがつかないので, こちらの方が性質が良く, 綺麗にも思えます.
$$

次に,

が成り立ちます. 今度はここにマイナスが出てくるんですね.

これは, 両辺を微分するか, 具体的に2乗してみれば良いです.

ちなみに, これが, 双曲線関数というお名前の由来です. 双曲線$x^2-y^2=1$のパラメタ表示が$(x,y)=(\pm \cosh t,\sinh t)$と表せるから, という理由みたいです.
$$

最後に, 加法定理を書いておきます. 使い道はそんなにない気がしますが, 三角関数と比較したりすると面白いです.

これはとっても綺麗で覚えやすいですね ♪ (別に覚える必要もないですが)

また, これを使うと, 和積公式, 積和公式, 合成公式とかも作れたりするのでしょうか.
$$

積分での利用

数Ⅲで三角関数の活躍する場所と言えば, やっぱり置換積分ですよね. ということで, 双曲線関数の置換積分を考えてみます.
$$

(例題) ${\displaystyle \int \sqrt{x^2+1}dx}$

一部では, 高校数学で一番面倒な積分との噂もあるやつです. (まあなので, 入試には出ませんけどね.) これを解いてみます.

${\displaystyle {\sinh }^{2}t+1={\cosh }^{2}t}$を思い出して, $x=\sinh t$とおいてみます. $dx=\cosh tdt$なので,
$$\begin{array}{rcl}\int \sqrt{x^2+1}dx& =& \int \sqrt{{\sinh }^{2}t+1}\cdot \cosh tdt\\ & =& \int {\cosh }^{2}tdt\\ & =& \int \frac{1+\cosh 2t}{2}dt\\ & =& \frac{t}{2}+\frac{\sinh 2t}{4}+C\end{array}$$

となります. ただし2行目から3行目の変形で, 半角公式を使いました.

また, ここで$t$は, ${\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}}$を$t$について解いて${\displaystyle t=\log (x+\sqrt{x^2+1})}$ と表されます.
$$

オイラーの式との関係

これは高校範囲ではないのですが, 少し面白いと思います.

ここでのオイラーの式とは,

のことです. この式で両辺の逆数を取ると$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$となるので, 以下の表示ができます.

と, いうことで, 実は双曲線関数はほとんど三角関数と同じものだったのでした！ 実際, 以下の関係式が成り立ちます.

これのせいで, 双曲線関数の公式は, 三角関数の公式の2乗のところの符号が変わっていたりしていたのです.

おわりに

ここまで読んで下さった方, どうもありがとうございました！ 至らない点がありましたらご指摘願いたいです.
$$