積分解説28

2021/01/16に Don@ld さんが出題した問題です。

https://twitter.com/atmark_donald/status/1350379594331787266?s=21

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\i1\frac{t-1}{(t+1)\log t}dt\\ &=&\i1\frac1{t+1}\i1 t^xdxdt\\ &=&\i1\i1\frac{t^x}{t+1}dtdx\\ &=&\i1\i1t^x\sum_{k=0}^\infty(-1)^kt^kdtdx\\ &=&\i1\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\i1t^{x+k}dtdx\\ &=&\i1\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k+1}dx\\ &=&\frac12\i1\l\psi\l\frac x2+1 \r-\psi\l\frac x2+\frac12 \r \r dx\\ &=&\left[\log\Gamma\l\frac x2+1 \r-\log\Gamma\l\frac x2+\frac12 \r \right]_0^1\\ &=&\log\Gamma\l\frac32\r-\log\Gamma(1)-\log\Gamma(1)+\log\Gamma\l\frac12\r\\ &=&\log\frac\pi2 \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\d\log\frac\pi2$となります。