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積分解説28

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2021/01/16に Don@ld さんが出題した問題です。

https://twitter.com/atmark_donald/status/1350379594331787266?s=21

$$ \displaystyle\i1\frac{t-1}{(t+1)\log t}dt $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\i1\frac{t-1}{(t+1)\log t}dt\\ &=&\i1\frac1{t+1}\i1 t^xdxdt\\ &=&\i1\i1\frac{t^x}{t+1}dtdx\\ &=&\i1\i1t^x\sum_{k=0}^\infty(-1)^kt^kdtdx\\ &=&\i1\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\i1t^{x+k}dtdx\\ &=&\i1\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k+1}dx\\ &=&\frac12\i1\l\psi\l\frac x2+1 \r-\psi\l\frac x2+\frac12 \r \r dx\\ &=&\left[\log\Gamma\l\frac x2+1 \r-\log\Gamma\l\frac x2+\frac12 \r \right]_0^1\\ &=&\log\Gamma\l\frac32\r-\log\Gamma(1)-\log\Gamma(1)+\log\Gamma\l\frac12\r\\ &=&\log\frac\pi2 \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\d\log\frac\pi2$となります。

投稿日:2021119

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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