正五角形と正十二面体と・・・！？

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注意: この記事は未解決のまま終了しています。

この記事は、令和2年度大学入学共通テスト数学ⅡB第5問にインスパイアされました。

ネタバレを含むので、これから解きたいという人はまず自力で解いてからこの記事を読んでください。

正五角形

一辺が$1$の正五角形$OA_1B_1C_1A_2$を考えます。この対角線の長さを$\phi$とします。原文では$a$ですが、$\phi$の方が一般的にはよく使われているので$\phi$を使用します。
($a$にしたのはたぶんマークシートに「φ」がなかったからだと思います)

正五角形

単に「$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$である。」で終わらせてもいいのですが、原文では私の見たことのない方法で求めていたので省略せずに紹介します。

そのために、$\vector{B_1C_1}$を2通りの方法で表します。

$\vector{B_1C_1} = \frac{1}{\phi} \vector{A_1A_2} = \frac{1}{\phi}\left(\vector{OA_2} - \vector{OA_1} \right)$

$ \begin{align*} \vector{B_1C_1} &= \vector{B_1A_2} + \vector{A_2O} + \vector{OA_1} + \vector{A_1C_1} \\ &= -\phi\vector{OA_1} - \vector{OA_2} + \vector{OA_1} + \phi{OA_2} \\ &= (\phi - 1)\left( \vector{OA_2} - \vector{OA_1} \right) \end{align*} $

ここから、

$$ \frac{1}{\phi} = \phi - 1 $$

すなわち

$$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$

が得られます。

原文では2つ目の$ \vector{B_1C_1} $の係数の$ \phi - 1 $だけ求めさせて、問題文中に「$ a = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $を得る。」と書いてしまっています。黄金比を知らない人のための救済措置かもしれませんね。

後のために、$\vector{OA_1} \cdot \vector{OA_2}$を計算しておきます。

$$ \left|\vector{A_1A_2}\right|^2 = \phi^2 = \phi+1 $$

であるから

$ \begin{align*} \left|\vector{OA_2} - \vector{OA_1}\right|^2 &= \left|\vector{OA_2}\right|^2 + \left|\vector{OA_1}\right|^2 - 2 \vector{OA_2} \cdot \vector{OA_1} \\ 2 \vector{OA_1} \cdot \vector{OA_2} &= 1 + 1 - (\phi + 1) \\ 2 \vector{OA_1} \cdot \vector{OA_2} &= 1 - \phi \\ \vector{OA_1} \cdot \vector{OA_2} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\phi \end{align*} $

が求まります。ベクトルの内積は可換(入れ替えても結果が同じ)であることに注意しましょう。

正十二面体

正十二面体について復習しましょう。正十二面体の定義は、原文に書いてあります。

正十二面体とは，どの面も全て合同な正五角形であり，どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである。

正確に描くのは難しいですが、問題に必要な分はこれだけです。

正十二面体(の展開図)の一部

この図形は実際には3次元的に折れ曲がっていて、2つの$A_1, B_2$は実はそれぞれ同じ点であることに注意しましょう。

$O$から見ると$A_1, A_2, A_3$は対称なので(実際には3次元的に折れ曲がっているので$A_1$の隙間はないのです)、

$$ \vector{OA_1} \cdot \vector{OA_2} = \vector{OA_2} \cdot \vector{OA_3} = \vector{OA_3} \cdot \vector{OA_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\phi $$

が成り立ちます。つまり、

$\begin{align*} & \vector{OA_1} \cdot \vector{OB_2} \\ &= \vector{OA_1} \cdot \left( \vector{OA_3} + \phi\vector{OA_2} \right) \\ &= \vector{OA_1} \cdot \vector{OA_3} + \phi \vector{OA_1} \cdot \vector{OA_2} \\ &= ( 1 + \phi )\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\phi \right) \\ &= -\frac{1}{2}\phi^2 + \frac{1}{2} \\ &= -\frac{1}{2}(\phi + 1) + \frac{1}{2} \\ &= -\frac{1}{2}\phi \end{align*}$

となります。また、

$\begin{align*} & \vector{OA_2} \cdot \vector{OB_2} \\ &= \vector{OA_2} \cdot \left( \vector{OA_3} + \phi\vector{OA_2} \right) \\ &= \vector{OA_2} \cdot \vector{OA_3} + \phi \vector{OA_2} \cdot \vector{OA_2} \\ &= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\phi \right) + \phi \\ &= \frac{1}{2}\phi + \frac{1}{2} \end{align*}$

なので、

$\begin{align*} & \vector{OB_1} \cdot \vector{OB_2} \\ &= \left( \vector{OA_2} + \phi\vector{OA_1} \right) \cdot \vector{OB_2} \\ &= \vector{OA_2} \cdot \vector{OB_2} + \phi \vector{OA_1} \cdot \vector{OB_2} \\ &= \left( \frac{1}{2}\phi + \frac{1}{2} \right) + \phi\left( -\frac{1}{2}\phi \right) \\ &= \frac{1}{2}((\phi + 1) - (\phi + 1)) \\ &= 0 \end{align*}$

となり、$\angle B_1OB_2$が直角であることが分かります。

ここで、四角形$OB_1DB_2$について考えると、$OB_1=OB_2=B_2D=\phi$、$\angle B_1OB_2$が直角、$B_2D$は図上では$OB_1$と平行で実際には$A_2C_1$を固定したまま3次元方向に回転するだけなので3次元でも平行となります。このような条件を満たす2次元図形は正方形しかないので、四角形$OB_1DB_2$は正方形なのです!