この記事は、令和2年度大学入学共通テスト数学ⅡB第5問にインスパイアされました。
ネタバレを含むので、これから解きたいという人はまず自力で解いてからこの記事を読んでください。
一辺が
(
正五角形
単に「
そのために、
ここから、
すなわち
が得られます。
原文では2つ目の
後のために、
であるから
が求まります。ベクトルの内積は可換(入れ替えても結果が同じ)であることに注意しましょう。
正十二面体について復習しましょう。正十二面体の定義は、原文に書いてあります。
正十二面体とは,どの面も全て合同な正五角形であり,どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである。
正確に描くのは難しいですが、問題に必要な分はこれだけです。
正十二面体(の展開図)の一部
この図形は実際には3次元的に折れ曲がっていて、2つの
が成り立ちます。つまり、
となります。また、
なので、
となり、
ここで、四角形
ここで終わるのは面白くないですね。もう1つ次元を上げて、ヨジゲンパワーを感じましょう。※これは怪しい記事ではありません
正百二十胞体を、上の正十二面体の説明に沿って書くと、次のようになります。
正百二十胞体とは,どの胞も全て合同な正十二面体であり,どの頂点に四つの胞が集まっているへこみのない多胞体のことである。
さて、正五角形に長さ
一辺
...というか、正十二面体の中に立方体がすでにあります。 WikipediaのAnother Mattさんによる図 をお借りします。
正十二面体の頂点
元の問題は、この上面だけを取り出したのですね。
では、正百二十胞体の中には超立方体があるのでしょうか。
Python3とかWolfram|Alphaとかもろびとこぞりて座標を計算してみましたが、正十二面体のときとは違ってかなりつらそうです。
どころか、超立方体の一辺が2つの正十二面体にまたがるようで、こうなるともう非常に繁雑な計算が必要となります。
WikipediaのTetracubeさんによる図 をお借りします。
正120胞体
どうやら超立方体の一辺はここのような気がするのですが、証明できませんでした。。。
超立方体の一辺???
筆者はここで体力が尽きてしまいました。「その線じゃないよ!」とか「証明出来た!」とか何かわかった方はコメント欄で教えてください。
だって、