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私のすごいと思う級数botさんの級数

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この記事では, タイトルの通り, 私のすごいと思う級数botさんの級数を紹介しようと思います.

こちら のツイートの級数です.

01ta1(1t)b11ztp(1t)qdt=n=0Γ(pn+a)Γ(qn+b)Γ((p+q)n+a+b)zn

証明は簡単です. 被積分関数をTaylor展開して,
01ta1(1t)b11ztp(1t)qdt=01ta1(1t)b1n=0zntpn(1t)qndt=n=0zn01tpn+a1(1t)qn+b1dt=n=0B(pn+a,qn+b)zn=n=0Γ(pn+a)Γ(qn+b)Γ((p+q)n+a+b)zn
となり, 示すことができました.

これ, 結構すごいんです...!

例えば, p=q=a=b=z=1としてみます. すると,
n=0n!2(2n+1)!=011t2t+1dt=2π33

がすぐに得られます. 同様にしてarcsin2のTaylor展開が割と簡単に示せてしまいます.

次に, p=2,q=1,a=b=1,z=12とすると,
n=0n!(2n)!2n(3n+1)!=0122t2(1t)dt=012(t+1)(t22t+2)dt=π+3log25
と, 私のTwitterのヘッダーの式と似たような式が簡単に導けてしまいます.

さらに, p=2,q=1,a=12,b=1,z=12とすると, Γ(n+12)=(2n)!22nn!πなので,
n=023n(2n)!2(3n)!(6n+12)n!(6n)!=0122t2(1t)dtt

(これは本当なら普通に表せるはずなのですがWolframAlphaさんがうまくまとまった形で返してくれないのでここで止めておきます...)

と, 変な級数も計算することができてしまいます!!

しかも, 両辺をzで微分したりすることによって級数を少し変えたりすることもできるんです!

読んで下さってありがとうございました.

投稿日:2021119
OptHub AI Competition

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投稿者

東大数理M1

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