私のすごいと思う級数botさんの級数

この記事では, タイトルの通り, 私のすごいと思う級数botさんの級数を紹介しようと思います.

こちら のツイートの級数です.

証明は簡単です. 被積分関数をTaylor展開して,
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^1\frac{t^{a-1}(1-t{)}^{b-1}}{1-z{t}^p(1-t{)}^q}dt\\ & =& {\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{t}^{pn}(1-t{)}^{qn}dt\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{\int }_0^1{t}^{pn+a-1}(1-t{)}^{qn+b-1}dt\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}B(pn+a,qn+b)z^n\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(pn+a)\mathrm{\Gamma }(qn+b)}{\mathrm{\Gamma }((p+q)n+a+b)}{z}^n\end{array}$$
となり, 示すことができました.

これ, 結構すごいんです...！

例えば, $p=q=a=b=z=1$としてみます. すると,
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{!}^2}{(2n+1)!}& =& {\int }_0^1\frac{1}{t^2-t+1}dt\\ & =& \frac{2\pi }{3\sqrt{3}}\end{array}$$

がすぐに得られます. 同様にして${\arcsin }^2$のTaylor展開が割と簡単に示せてしまいます.
$$

次に, $p=2,q=1,a=b=1,z=\frac{1}{2}$とすると,
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!(2n)!}{2^n(3n+1)!}& =& {\int }_0^1\frac{2}{2-t^2(1-t)}dt\\ & =& {\int }_0^1\frac{2}{(t+1)(t^2-2t+2)}dt\\ & =& \frac{\pi +3\log 2}{5}\end{array}$$
と, 私のTwitterのヘッダーの式と似たような式が簡単に導けてしまいます.
$$

さらに, $p=2,q=1,a=\frac{1}{2},b=1,z=\frac{1}{2}$とすると, $\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi }$なので,
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{3n}(2n){!}^2(3n)!}{(6n+\frac{1}{2})n!(6n)!}& =& {\int }_0^1\frac{2}{2-t^2(1-t)}\cdot \frac{dt}{\sqrt{t}}\end{array}$$

(これは本当なら普通に表せるはずなのですがWolframAlphaさんがうまくまとまった形で返してくれないのでここで止めておきます...)

と, 変な級数も計算することができてしまいます！！

しかも, 両辺を$z$で微分したりすることによって級数を少し変えたりすることもできるんです！

読んで下さってありがとうございました.