1+2+3+4+5=1+2+4+8とかについて

はじめに

この記事ではこんな等式たちで遊んでみます。
$$\text{（⭐）}\{\begin{array}{rlrl}1& & =& 1\\ 1+2& & =& 1+2\\ 1+2+3+4+5& & =& 1+2+2^2+2^3\\ 1+2+\cdots +89+90& & =& 1+2+2^2+\cdots +2^{10}+2^{11}\end{array}$$
$1$から$N$までの自然数の和が，初項$1$公比$r$（上の例は$r=2$）項数$M$の等比数列の和に等しい等式を作って遊ぼう！という記事です。つまり，次の等式を満たすような正の整数の組$(r,N,M)$を考えます。$$\text{（🍀）}1+2+\cdots +N=1+r+r^2+\cdots +r^{M-1}$$

$\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{2}$のとき

まずは具体例として，$r=2$のときを考えます。すなわち，次の等式を満たす正の整数$N,M$を求めればよいです。$${\displaystyle \frac{1}{2}}N(N+1)=2^M-1$$
これを少し変形しますと，
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}}N(N+1)& =2^M-1\\ 4N^2+4N& =2^{M+3}-8\\ (2N+1{)}^2& =2^{M+3}-7\end{array}$$
となりますので，$2^{M+3}-7$が平方数となるような$M$を決定することが必要です。
この問題の結果には名前が付いています。

この定理1を認めれば，$(N,M)$の組としては$$(N,M)=(1,1),(2,2),(5,4),(90,12)$$のみとなります。故に$r=2$のときに🍀を満たすものは⭐で提示したものしか存在しないことが分かりました。
なお$\text{Nagell}$による証明（英語版）は，参考文献[1]を参照ください。その論文でやってることをざっくり説明すると，整数環${\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-7})}$が類数$1$であることを用いて，${\displaystyle \frac{1+\sqrt{7}}{2}}$の$n$乗における考察に帰着して問題を解いています。

$\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{3}$のとき

$r=3$のときは，次の等式を満たす$(N,M)$を求めればよいです。$${\displaystyle \frac{1}{2}}N(N+1)={\displaystyle \frac{3^M-1}{2}}$$

この命題2の証明は長くありませんので，証明します。

よって$r=3$のときの🍀は自明なものしか存在しないことが分かりました。

$\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{9}$のとき

次に$r=9$のときの例を考えてみましょう。例えば次のような例が見つかります。
$$\text{（🌠）}\{\begin{array}{rlrl}1& & =& 1\\ 1+2+3+4& & =& 1+9\\ 1+2+\cdots +13+14& & =& 1+9+9^2\\ 1+2+\cdots +39+40& & =& 1+9+9^2+9^3\\ 1+2+\cdots +120+121& & =& 1+9+9^2+9^3+9^4\end{array}$$
🌠から薄々感づくかもしれませんが，こんな結果が得られます。

さくっと命題3も証明しちゃいましょう。

$r=9$のときの🍀は無数に存在することが分かりました。

発展的な話題

今回は$r=2,3,9$のときの🍀について考察をしていきました。それぞれ，「非自明な解はあったが有限個しか存在しなかったもの」「非自明な解が存在しないもの」「無限にあるもの」といった場合でした。以下の進展が考えられます。
$\phantom{a}$
① $r=9$のときのように，任意の自然数$M$に対して$N$を定めることが出来るような$r$は他にあるか？他にあるならそれは無数か？
$\phantom{a}$
② $r=3$のときのように，$(N,M)$の組が$(1,1)$しか存在しない$r$は他にあるか？他にあるならそれは無数か？
$\phantom{a}$
③ $r=2$のときのように，非自明な$(N,M)$が有限個存在するような$r$は他にあるか？他にあるならそれは無数か？

例えば，$2\le r\le 50$，$M<20$としたときに，$(N,M)=(1,1)$以外の解としては以下を発見することが出来ました。（もちろん計算機に任せています。）
$$\begin{array}{rl}(r,N,M)& =(2,1,1),(2,2,2),(2,5,4),(2,90,8),\\ & =(4,6,3),\\ & =(5,3,2),\\ & =(9,{\displaystyle \frac{3^M-1}{2}},M),\\ & =(14,5,2),\\ & =(20,6,2),\\ & =(23,159,4),\\ & =(26,37,3),\\ & =(27,7,2),\\ & =(44,9,2),\end{array}$$

やはり$M\ge 3$のときは非自明な雰囲気を感じますね。$$1+2+\cdots +158+159=1+23+{23}^2+{23}^3$$や，$$1+2+\cdots +36+37=1+26+{26}^2$$
なんかは面白い形をしています。

個人的には，こんな予想が成り立つんじゃないかと思っています。

これを証明できるのだろうか，考えるのは面白そうです。

ここまでお読みいただきありがとうございました！