代数学の基本定理の証明

加群
$R$ を環として, $(M,+)$ をアーベル群とする.
このとき, $R$ の $M$ への左作用$R\times M\to M(r,r^{\prime },1\in R,m,m^{\prime }\in M)$ で,
$r\cdot (m+m^{\prime })=r\cdot m+r\cdot m^{\prime }$
$(r+r^{\prime })\cdot m=r\cdot m+r^{\prime }\cdot m$
$(r\cdot r^{\prime })\cdot m=r\cdot (r^{\prime }\cdot m^{\prime })$
$1\cdot m=m$
をみたすものを,左 $R$ 加群と呼ぶ.
上の定義の左作用を右作用に置き換えることにより右 $R$加群も定義される.
$R$ が可換環のときは $m\cdot r=r\cdot m$ と定めると左 $R$加群に右 $R$ 加群の構造が入り，
その逆も成り立つ. このとき,単に $R$ 加群と呼ぶ.

複体
$X_n:\mathbb{Z}$ 加群 と ${\partial }_n:X_n\to X_{n-1}:$の組 $(X_n,{\partial }_n)$ が複体であるとは${\partial }_{n-1}\circ {\partial }_n=0$ であることと定める.
このとき，${\partial }_n$ を境界作用素と呼ぶ.

ホモロジー群
$X_n:\mathbb{Z}$加群, ${\partial }_n:X_n\to X_{n-1}:$境界作用素とする.$\text{Ker}{\partial }_n=\{x\in X_n\mid {\partial }_{n}x=0\}$$\text{Im}{\partial }_{n+1}=\{x\in X_n\mid \mathrm{\exists }y\in X_{n+1}s.t.x={\partial }_{n+1}y\}$とする.
$\text{Im}{\partial }_{n+1}\subset \text{Ker}{\partial }_n$であり, $H_n(X)=\text{Ker}{\partial }_n/\text{Im}{\partial }_{n+1}$をホモロジー群と呼ぶ.

鎖準同型
$(X_n,{\partial }_n),(X_n^{\prime },{\partial }_n^{\prime }):$ 複体とする.$f_n:X_n\to X_n^{\prime }$ が鎖準同型であることを，$f_{n-1}\circ {\partial }_n={\partial }_n^{\prime }\circ f_n$をみたすことと定める.

m次元球面のホモロジー群
$S^m=\{x\in {\mathbb{R}}^{m+1}\mid |x|=1\}$ に対して，
$$\begin{gathered} H_n(S^m)\cong \mathbb{Z}(n=0,m) \\ {H}_n(S^m)=\{0\}(n\ne 0,m) \end{gathered}$$

写像度
$f:S^m\to S^m$ に対して$f_{\ast }:H_n(S^m)\to H_n(S^m)$ が誘導される.
これは $\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への準同型とみなすことができるので,
$f_{\ast }(x)=kx$
と記述できる.
この $k$ を写像度と呼び, $\text{deg}(f)$ と表す.

写像度の基本的性質
$\text{deg}(id)=1$
$\text{deg}(f\circ g)=\text{deg}(f)\text{deg}(g)$
$f\simeq g\Rightarrow \text{deg}(f)=\text{deg}(g)$

代数学の基本定理
次数1以上の複素係数一変数多項式
$p(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$
は複素根を持つ.
$proof.$
$p(z)$ が複素根を持たないと仮定する.
このとき, $\hat{p}:S^1\to S^1$ を$\hat{p}(z)=\frac{p(z)}{|p(z)|}$ とすると，
$|z|\le 1$ に対して, $\text{deg}(\hat{p})=0$である.
$|z|\ge 1$ に対して, $\text{deg}(\hat{p})=n$である.
従って,矛盾が生じるので仮定は誤りで $p(z)$ は複素根を持つ.