twitterで見た級数：Σ[n=1..∞](-1)^n log(1+1/n)

与式の左辺を$n$が奇数の時と偶数の時で分けて
$$ \BEQ \text{左辺} &=& \sum_{m=1}^\infty (-1)^{2m-1}\log\left(1+\frac{1}{2m-1} \right) +\sum_{m=1}^\infty (-1)^{2m}\log\left(1+\frac{1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty -\log\left(\frac{2m}{2m-1} \right) +\sum_{m=1}^\infty \log\left(\frac{2m+1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(\frac{2m-1}{2m} \right) +\sum_{m=1}^\infty \log\left(\frac{2m+1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(1-\frac{1}{2m} \right) +\sum_{m=1}^\infty \log\left(1+\frac{1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(1-\frac{1}{2m} \right)\left(1+\frac{1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(1-\frac{1}{(2m)^2} \right)\\ &=& \log \left(\prod_{m=1}^\infty\left(1-\frac{1}{(2m)^2} \right) \right)\\ \EEQ $$
ここで$\sin$は因数分解すると
$$ \BEQ \sin(x) &=&x\left(1-\frac{x}{π}\right)\left(1+\frac{x}{π}\right)\left(1-\frac{x}{2π}\right)\left(1+\frac{x}{2π}\right)\cdots\\ &=&x\left(1-\frac{x^2}{π^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{(2π)^2}\right)\cdots\\ &=&x \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{(mπ)^2}\right)\\ \EEQ $$とあらわせ、$x≠0$のとき
$$ \BEQ \therefore \dfrac{\sin(x)}{x}&=&\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{(mπ)^2}\right) \EEQ $$
なので、この式と比較して
$$ \frac{1}{(2m)^2}=\frac{x^2}{(mπ)^2} $$という関係式が得られ、$x$は
$$ x^2=\left(\frac{mπ}{2m} \right)^2\\ \Rightarrow \\ x=\frac{π}{2} $$となり
$$ \BEQ \log \left(\prod_{m=1}^\infty\left(1-\frac{1}{(2m)^2} \right) \right) &=&\log \left(\frac{\sin\left(\dfracπ2 \right)}{\dfracπ2} \right)\\ &=&\log \left(\frac{2}{π} \right)\\ \EEQ $$命題が証明された。