12

twitterで見た級数:Σ[n=1..∞](-1)^n log(1+1/n)

200
1
$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}} \newcommand{floor}[1]{ \left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{hgf}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4}\,;\,#5\right)} \newcommand{IZT}[1]{\mathcal{Z^{-1}}\left[#1\right]} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{ZT}[1]{\mathcal{Z}\left[#1\right]} $$

目的

twitterで見た 級数 の値を求める。

級数

$$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \log\left(1+\frac1n \right)=\log\left(\frac2π \right) $$

$\sin$の因数分解

与式の左辺を$n$が奇数の時と偶数の時で分けて
$$ \BEQ \text{左辺} &=& \sum_{m=1}^\infty (-1)^{2m-1}\log\left(1+\frac{1}{2m-1} \right) +\sum_{m=1}^\infty (-1)^{2m}\log\left(1+\frac{1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty -\log\left(\frac{2m}{2m-1} \right) +\sum_{m=1}^\infty \log\left(\frac{2m+1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(\frac{2m-1}{2m} \right) +\sum_{m=1}^\infty \log\left(\frac{2m+1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(1-\frac{1}{2m} \right) +\sum_{m=1}^\infty \log\left(1+\frac{1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(1-\frac{1}{2m} \right)\left(1+\frac{1}{2m} \right)\\ &=& \sum_{m=1}^\infty \log\left(1-\frac{1}{(2m)^2} \right)\\ &=& \log \left(\prod_{m=1}^\infty\left(1-\frac{1}{(2m)^2} \right) \right)\\ \EEQ $$
ここで$\sin$は因数分解すると
$$ \BEQ \sin(x) &=&x\left(1-\frac{x}{π}\right)\left(1+\frac{x}{π}\right)\left(1-\frac{x}{2π}\right)\left(1+\frac{x}{2π}\right)\cdots\\ &=&x\left(1-\frac{x^2}{π^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{(2π)^2}\right)\cdots\\ &=&x \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{(mπ)^2}\right)\\ \EEQ $$とあらわせ、$x≠0$のとき
$$ \BEQ \therefore \dfrac{\sin(x)}{x}&=&\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{(mπ)^2}\right) \EEQ $$
なので、この式と比較して
$$ \frac{1}{(2m)^2}=\frac{x^2}{(mπ)^2} $$という関係式が得られ、$x$
$$ x^2=\left(\frac{mπ}{2m} \right)^2\\ \Rightarrow \\ x=\frac{π}{2} $$となり
$$ \BEQ \log \left(\prod_{m=1}^\infty\left(1-\frac{1}{(2m)^2} \right) \right) &=&\log \left(\frac{\sin\left(\dfracπ2 \right)}{\dfracπ2} \right)\\ &=&\log \left(\frac{2}{π} \right)\\ \EEQ $$命題が証明された。

投稿日:2021119

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

zeta
32
2553

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中