簡単な微分方程式を解く

$C_1,C_2$を積分定数とする. 即ちこれらは実数の定数である.
\begin{eqnarray*} y'&=&ky\tag1\\ \frac{y'}y&=&k\tag2\\ \frac1y\frac{dy}{dx}&=&k\\ \int\frac1y\frac{dy}{dx}\,\mathrm dx&=&\int k\,\mathrm dx\tag3\\ \int\frac{\mathrm dy}y&=&k\int\mathrm dx\tag4\\ \log|y|+C_1&=&kx+C_2\\ \log|y|&=&kx+C\qquad(C=C_2-C_1)\\ y&=&\pm e^{kx+C}=\pm e^Ce^{kx}\\ y&=&Ae^{kx}\qquad(A=\pm e^C) \end{eqnarray*}
$(3)$から$(4)$への変形は置換積分法による. さて, $C_1,C_2$は積分定数であったので任意の実数値を取りうる. 従って$C$も任意の実数値を取りうる. この時$A=\pm e^C\neq0$であるが$A=0$とした$y=0$も元の方程式の解である. 従って$A$は任意の実数値と取りうる定数として解は$y=Ae^{kx}$と書ける.

$n$を任意の自然数とする. このとき$y'=ky$より数学的帰納法を用いて$y''=k^2y,y'''=k^3y,\cdots,y^{(n)}=k^ny$が分かる. 即ち, $i=1,2,3,\cdots,n-1$に対して$y^{(i)}(a)=0$が成り立つ. これとテイラーの定理から$x\neq a$の時ある$c$が$x$と$a$の間に存在して
$$y(x)=y(a)+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{y^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i+\frac{y^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n=\frac{k^ny(c)}{n!}(x-a)^n$$
と表せる. そして$y$が微分可能であることから連続であり, $x$と$a$の間で有界であることが分かる. 即ちある正の実数$M$が存在して$|y(c)|\leq M$が成り立つ. 従って
$$\begin{eqnarray*}|y(x)|&=&\left|\frac{k^ny(c)}{n!}(x-a)^n\right|\\&\leq&M\frac{|k(x-a)|^n}{n!}\end{eqnarray*}$$
が任意の自然数$n$に対して成り立つので$n\to\infty$として挟み撃ちの定理から$|y(x)|=0$. これは$y(x)=0$に他ならない.
そして, $y(a)=0$であったので常に$y=0$である. $\Box$