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簡単な微分方程式を解く

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はじめに

この記事はyxの関数とした時, 微分方程式y=kyを解くことを目的とする. ここでxは実数の変数であり, kは実数の定数である.

微分方程式を解く

まずは問題を正確に書き直す.

kをある実数の定数とする. 実数xを変数とする微分可能な関数yが常にy=kyを満たしているとき, yxを用いて表せ.

変数を明記する記法を取れば任意の実数xについてy(x)=ky(x)を満たしているということである. 最初に一般に広く知られている解法があるのでそれを書くことにする.

変数分離法

C1,C2を積分定数とする. 即ちこれらは実数の定数である.
(1)y=ky(2)yy=k1ydydx=k(3)1ydydxdx=kdx(4)dyy=kdxlog|y|+C1=kx+C2log|y|=kx+C(C=C2C1)y=±ekx+C=±eCekxy=Aekx(A=±eC)
(3)から(4)への変形は置換積分法による. さて, C1,C2は積分定数であったので任意の実数値を取りうる. 従ってCも任意の実数値を取りうる. この時A=±eC0であるがA=0としたy=0も元の方程式の解である. 従ってAは任意の実数値と取りうる定数として解はy=Aekxと書ける.

とりあえず解くことはできるしこれでもいいと思うかもしれない。しかし大きな問題が一つある. (1)から(2)への変形で両辺をyで割ったがこれが0に等しかったならば問題である. 例えば, 次のようなことが起こりうる.

(5)x2+3x+2=(x+1)(x+2)(6)x2+3x+2x+1=x+2
(5)の式はxは任意の実数について成り立つ. ところが(6)の式はx=1において成り立たない.

ところが実際, これは問題にならない. 実は「ある一点で」y=0となる時「至る所で」y=0となることが示せるからである. この事実の対偶を取ることで, 常にy=0でない限りy0にならないということが分かる.

0割りにならないこと

まず示すべきことを明記しよう. kなどはすでに述べたとおりである.

aをある実数の定数とする. y=kyかつy(a)=0であるとき常にy=0である.

これを示すために次のテイラーの定理を用いる.

テイラーの定理

nを自然数とする. n回微分可能な関数fについて, 任意の定数a,b(ab)に対してあるcabの間に存在して
f(b)=i=0n1f(i)(a)i!(ba)i+f(n)(c)n!(ba)n
が成り立つ. ただしf(i)fi階導関数を表す.

この定理の証明は略す. では目的の定理を示そう.

nを任意の自然数とする. このときy=kyより数学的帰納法を用いてy=k2y,y=k3y,,y(n)=knyが分かる. 即ち, i=1,2,3,,n1に対してy(i)(a)=0が成り立つ. これとテイラーの定理からxaの時あるcxaの間に存在して
y(x)=y(a)+i=1n1y(i)(a)i!(xa)i+y(n)(c)n!(xa)n=kny(c)n!(xa)n
と表せる. そしてyが微分可能であることから連続であり, xaの間で有界であることが分かる. 即ちある正の実数Mが存在して|y(c)|Mが成り立つ. 従って
|y(x)|=|kny(c)n!(xa)n|M|k(xa)|nn!
が任意の自然数nに対して成り立つのでnとして挟み撃ちの定理から|y(x)|=0. これはy(x)=0に他ならない.
そして, y(a)=0であったので常にy=0である.

この結果から我々は安心して両辺をyで割ることができる. それは常にy=0といういわば, つまらない解を除いてしまえば他のすべては一度も0になりえないということによるものである.

おわりに

0になりえないことの部分の証明は参考とする文献を見たことがないのでもしかしたらもっと容易で簡潔なものがあるかもしれない. また, この記事を書こうと思った目的は書きたかったからというのもあるが, この部分の証明が書かれているものを見たことがないので書いたというのもある.

投稿日:2021121
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