私が見つけたFibonacci数(またはそれに関係するもの)の公式は, 公表されたものだけでも150を超える.
2008年6月に何気なくFibonacci数と戯れる中で得られたある結果に対して3,4日位とても大きな興奮がつづいた.
この記事では新しい「Fibonacci数の6乗和公式」を紹介する. 以下,
Fibonacci数の和と平方和はの結果は, 以下のように非常に簡単な形になることはよく知られている.
ところが, 3乗和以降は複雑になっていく. 2008年時点でのOEISにあるFibonacci数の6乗和の公式は以下の通りであった.
この6乗和公式と比べれば, 次の公式は非常に簡単できれいだと思っていただけるであろう.
自然数
以下の既知の公式を利用する.
(i)
(iv)
よって,
ここで,
したがって,
同様の手法でLucas数の6乗和の公式も導出できる.
自然数
※ この結果はその年に行われた THE THIRTEENTH INTERNATIONAL CONFERENCE ON FIBONACCI NUMBERS AND THEIR APPLICATIONS で発表した. なお, Proceedingsは2010年に出版されている.
※ 2013年にGary Detlefs氏が定理1の公式をOEISのA098532に追加している.