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Fibonacci数の6乗和

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はじめに

私が見つけたFibonacci数(またはそれに関係するもの)の公式は, 公表されたものだけでも150を超える.
2008年6月に何気なくFibonacci数と戯れる中で得られたある結果に対して3,4日位とても大きな興奮がつづいた.

Fibonacci数の6乗和公式 (old and new)

この記事では新しい「Fibonacci数の6乗和公式」を紹介する. 以下, n番目のFibonacci数, Lucas数をそれぞれFn,Lnで表す.
Fibonacci数の和と平方和はの結果は, 以下のように非常に簡単な形になることはよく知られている.
 k=1nFk=Fn+21,
 k=1nFk2=FnFn+1.
ところが, 3乗和以降は複雑になっていく. 2008年時点でのOEISにあるFibonacci数の6乗和の公式は以下の通りであった.
 k=1nFk6=1500(F6n+1+3F6n+2(1)n(16F4n+1+8F4n+2)60F2n+1+120F2n+240(1)n).
この6乗和公式と比べれば, 次の公式は非常に簡単できれいだと思っていただけるであろう.

Fibonacci数の6乗和公式 New!

自然数nに対して,
 k=1nFk6=Fn5Fn+3+F2n4.

以下の既知の公式を利用する.
(i) FnLn=F2n,  (ii) Fn+1+Fn1=Ln, (iii) Fn+m+(1)mFnm=FnLm,
(iv) Fn2Fn1Fn+1Fn+2=Fn41 (Gelin-Cesa`ro identity).

0=k=0nFk2Fk1FkFk+1Fk+2Fk+3k=1n+1Fk3Fk2Fk1FkFk+1Fk+2
=k=1nFk2Fk1FkFk+1Fk+2(Fk+3Fk3)Fn2Fn1FnFn+1Fn+2Fn+3
=k=1n(Fk41)FkFkL3FnFn+3(Fn41) (by (iii) and (iv))
=4k=1n(Fk6Fk2)FnFn+3(Fn41)=4k=1nFk64FnFn+1Fn5Fn+3+FnFn+3.
よって,
 k=1nFk6=Fn5Fn+3+Fn(4Fn+1Fn+3)4.
ここで, 4Fn+1Fn+3=3Fn+1Fn+2=2Fn+1Fn=Fn+1+Fn1=Ln (by (ii)).
したがって,
 k=1nFk6=Fn5Fn+3+FnLn4=Fn5Fn+3+F2n4(by (i)).  

同様の手法でLucas数の6乗和の公式も導出できる.

Lucas数の6乗和公式 New!

自然数nに対して,
 k=1nLk6=Ln5Ln+3+125F2n432.

※ この結果はその年に行われた THE THIRTEENTH INTERNATIONAL CONFERENCE ON FIBONACCI NUMBERS AND THEIR APPLICATIONS で発表した. なお, Proceedingsは2010年に出版されている.
 ※ 2013年にGary Detlefs氏が定理1の公式をOEISのA098532に追加している.

投稿日:2021123
更新日:202471
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