Fibonacci数の6乗和

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はじめに

私が見つけたFibonacci数(またはそれに関係するもの)の公式は, 公表されたものだけでも150を超える.
2008年6月に何気なくFibonacci数と戯れる中で得られたある結果に対して3,4日位とても大きな興奮がつづいた.

Fibonacci数の6乗和公式 (old and new)

この記事では新しい「Fibonacci数の6乗和公式」を紹介する. 以下, $n$ 番目のFibonacci数, Lucas数をそれぞれ $F_{n}, L_{n}$ で表す.
Fibonacci数の和と平方和はの結果は, 以下のように非常に簡単な形になることはよく知られている.
$\sum_{k = 1}^{n} F_{k} = F_{n + 2} - 1,$
$\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{2} = F_{n} F_{n + 1} .$
ところが, 3乗和以降は複雑になっていく. 2008年時点でのOEISにあるFibonacci数の6乗和の公式は以下の通りであった.
　 $\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{6} = \frac{1}{500} (F_{6 n + 1} + 3 F_{6 n + 2} - (- 1)^{n} (16 F_{4 n + 1} + 8 F_{4 n + 2}) - 60 F_{2 n + 1} + 120 F_{2 n + 2} - 40 (- 1)^{n}) .$
この6乗和公式と比べれば, 次の公式は非常に簡単できれいだと思っていただけるであろう.

Fibonacci数の6乗和公式　New!

自然数 $n$ に対して,
　 $\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{6} = \frac{F_{n}^{5} F_{n + 3} + F_{2 n}}{4} .$

以下の既知の公式を利用する.
(i) $F_{n} L_{n} = F_{2 n},$ 　 (ii) $F_{n + 1} + F_{n - 1} = L_{n},$ 　(iii) $F_{n + m} + (- 1)^{m} F_{n - m} = F_{n} L_{m},$
(iv) $F_{n - 2} F_{n - 1} F_{n + 1} F_{n + 2} = F_{n}^{4} - 1$ (Gelin-Ces $\overset{`}{a}$ ro identity).

$0 = \sum_{k = 0}^{n} F_{k - 2} F_{k - 1} F_{k} F_{k + 1} F_{k + 2} F_{k + 3} - \sum_{k = 1}^{n + 1} F_{k - 3} F_{k - 2} F_{k - 1} F_{k} F_{k + 1} F_{k + 2}$
$= \sum_{k = 1}^{n} F_{k - 2} F_{k - 1} F_{k} F_{k + 1} F_{k + 2} (F_{k + 3} - F_{k - 3}) - F_{n - 2} F_{n - 1} F_{n} F_{n + 1} F_{n + 2} F_{n + 3}$
$= \sum_{k = 1}^{n} (F_{k}^{4} - 1) \cdot F_{k} \cdot F_{k} L_{3} - F_{n} F_{n + 3} (F_{n}^{4} - 1)$ (by (iii) and (iv))
$= 4 \sum_{k = 1}^{n} (F_{k}^{6} - F_{k}^{2}) - F_{n} F_{n + 3} (F_{n}^{4} - 1) = 4 \sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{6} - 4 F_{n} F_{n + 1} - F_{n}^{5} F_{n + 3} + F_{n} F_{n + 3} .$
よって,
　 $\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{6} = \frac{F_{n}^{5} F_{n + 3} + F_{n} (4 F_{n + 1} - F_{n + 3})}{4} .$
ここで, $4 F_{n + 1} - F_{n + 3} = 3 F_{n + 1} - F_{n + 2} = 2 F_{n + 1} - F_{n} = F_{n + 1} + F_{n - 1} = L_{n}$ (by (ii)).
したがって,
　 $\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{6} = \frac{F_{n}^{5} F_{n + 3} + F_{n} L_{n}}{4} = \frac{F_{n}^{5} F_{n + 3} + F_{2 n}}{4}$ (by (i)).　　 $◼$

同様の手法でLucas数の6乗和の公式も導出できる.

Lucas数の6乗和公式　New!

自然数 $n$ に対して,
　 $\sum_{k = 1}^{n} L_{k}^{6} = \frac{L_{n}^{5} L_{n + 3} + 125 F_{2 n}}{4} - 32.$

※ この結果はその年に行われた THE THIRTEENTH INTERNATIONAL CONFERENCE ON FIBONACCI NUMBERS AND THEIR APPLICATIONS で発表した. なお, Proceedingsは2010年に出版されている.
　※ 2013年にGary Detlefs氏が定理1の公式をOEISのA098532に追加している.

投稿日：2021年1月23日

更新日：2024年7月1日

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