自作問題解説2

僕がtwitterに載せた自作問題です
https://twitter.com/Gnu_yshys0624/status/1351106166651281409?s=20

三角形ABCで、角ABC = 45°である。ACの中点をM、三角形ABCの外心をOとする。AB² - BC² = 8のとき、三角形BOMの面積を求めよ。

図1

解説

図2
四角形BDMOが平行四辺形となるように点Dをとる。このとき
$△ B D M$ と $△ B O M$ の面積は等しい。
ここで、 $O M / / B D, O M ⊥ M C, M C = O M = B D$ より
$B D ⊥ M C, B D = M C$ である。

ここで、四角形BCMDを4つ図のように繋げると大小二つの正方形ができる。(記号は対応していません)

図3
よって、四角形BCMDの面積は $\frac{1}{4} (B C^{2} - D M^{2})$ と表される。
同様に、四角形ABDMの面積は $\frac{1}{4} (A B^{2} - D M^{2})$ である。
よって四角形BCMDと四角形ABDMの面積の差は $\frac{1}{4} (A B^{2} - B C^{2}) = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2$ である。
また、(四角形BCDM) = $△ B M C - △ B D M$ ,(四角形ABDM) = $△ B M A + △ B D M$ であり、また $△ B M C = △ B M A$ であることから、四角形BCDMと四角形ABDMの面積の差は $2 \cdot △ B D M$ と表せる。
よって $2 \cdot △ B D M = 2$ より、 $△ B D M = 1$
となります。