高校数学議論

x^k-x^(k-1)-…x-1=0 の解の累乗の和についての予想

予想

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はじめに

今回の記事では、 $x^{k} - x^{k - 1} - \dots - x - 1 = 0$ の解の累乗の和についての私の予想について書きます。まだ証明できていません。

予想の内容を紹介する前に、 $k = 2, 3$ の場合について、つまり、 $x^{2} - x - 1 = 0$ の解の累乗と $x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0$ の解の累乗の和について実験してみましょう。

実験

$x^{2} - x - 1 = 0$ の解の累乗の和について

$x^{2} - x - 1 = 0$ 　の解を $α, β$ とすると
$α + β = 1$
$α^{2} + β^{2} = 3$

$x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0$ の解の累乗の和について

$x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0$ 　の解を $α, β, γ$ とすると
$α + β + γ = 1$
$α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 3$
$α^{3} + β^{3} + γ^{3} = 7$

予想の内容

予想の内容は、上記の内容を一般化できるのではないか、というものです。

x^{k} - x^{k - 1} - \dots - x - 1 = 0

の解の累乗の和についての予想

$k$ を自然数とする。また、 $n$ を $k$ 以下の自然数とする。
$x$ の方程式 $x^{k} - x^{k - 1} - \dots - x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0$ の解を $α_{1}, α_{2}, α_{3}, \dots, α_{k}$ とすると
$α_{1} + α_{2} + α_{3} + \dots α_{k} = 1$
$α_{1}^{2} + α_{2}^{2} + α_{3}^{2} + \dots α_{k}^{2} = 3$
$α_{1}^{3} + α_{2}^{3} + α_{3}^{3} + \dots α_{k}^{3} = 7$
$⋮$
$α_{1}^{n} + α_{2}^{n} + α_{3}^{n} + \dots α_{k}^{n} = 2^{n} - 1$
$⋮$
$α_{1}^{k} + α_{2}^{k} + α_{3}^{k} + \dots α_{k}^{3} = 2^{k} - 1$

がそれぞれ成り立つ。

もう少し短く書き換えるとこうなります。

x^{k} - x^{k - 1} - \dots - x - 1 = 0

の解の累乗の和についての予想の書き換え

$k$ を自然数とする。また、 $n$ を $k$ 以下の自然数とする。
$x$ の方程式 $x^{k} - x^{k - 1} - \dots - x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0$ の解を $α_{1}, α_{2}, α_{3}, \dots, α_{k}$ とすると
$\sum_{i = 1}^{k} α_{i}^{n} = 2^{n} - 1$
が成り立つ。