高校数学議論

x^k-x^(k-1)-…x-1=0 の解の累乗の和についての予想

予想

326

はじめに

今回の記事では、$x^k-x^{k-1}-…-x-1=0$ の解の累乗の和についての私の予想について書きます。まだ証明できていません。

予想の内容を紹介する前に、$k=2,3$ の場合について、つまり、$x^2-x-1=0$ の解の累乗と $x^3-x^2-x-1=0$ の解の累乗の和について実験してみましょう。

実験

$x^2-x-1=0$ の解の累乗の和について

$x^2-x-1=0$　の解を $\alpha,\beta$ とすると
$\alpha+\beta=1$
$\alpha^2+\beta^2=3$

$x^3-x^2-x-1=0$ の解の累乗の和について

$x^3-x^2-x-1=0$　の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると
$\alpha+\beta+\gamma=1$
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=7$

予想の内容

予想の内容は、上記の内容を一般化できるのではないか、というものです。

$x^k-x^{k-1}-…-x-1=0$ の解の累乗の和についての予想

$k$ を自然数とする。また、$n$ を $k$ 以下の自然数とする。
$x$ の方程式 $x^k-x^{k-1}-\cdots -x^3-x^2-x-1=0$ の解を $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_k$ とすると
$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\cdots\alpha_k=1$
$\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\cdots\alpha_k^2=3$
$\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3+\cdots\alpha_k^3=7$
$\qquad\vdots$
$\alpha_1^n+\alpha_2^n+\alpha_3^n+\cdots\alpha_k^n=2^n-1$
$\qquad\vdots$
$\alpha_1^k+\alpha_2^k+\alpha_3^k+\cdots\alpha_k^3=2^k-1$

がそれぞれ成り立つ。

もう少し短く書き換えるとこうなります。

$x^k-x^{k-1}-…-x-1=0$ の解の累乗の和についての予想の書き換え

$k$ を自然数とする。また、$n$ を $k$ 以下の自然数とする。
$x$ の方程式 $x^k-x^{k-1}-\cdots -x^3-x^2-x-1=0$ の解を $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_k$ とすると
${\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\alpha_i^n=2^n-1 }$
が成り立つ。

小さい数の $k$ で実験したところではこの予想は成り立ちそうですが、私はまだ証明できていません。
証明、反例など情報あれば教えてください教えてください!