Flexion unit2

長さ$n$の部分の等式
\begin{align} \preari_n(\EE)=n!\es(w_1,\dots,w_n) \end{align}
が成り立つことを示せばよい. $n=0$のときは明らかであるから, $n$のときに成り立つとして, $n+1$の場合を示す. まず, 定義から
\begin{align} &\preari_{n+1}(\EE)(w_1,\dots,w_{n+1})\\ &=\preari(\preari_n(\EE),\EE)(w_1,\dots,w_{n+1})\\ &=\sum_{i=1}^{n+1}\preari_n(\EE)(w_1,\dots,w_{i-1},{}_{w_i}\lceil w_{i+1},\dots,w_{n+1})\EE(w_i\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\\ &\qquad-\sum_{i=2}^{n+1}\preari_n(\EE)(w_1,\dots,w_{i-1}\rceil{}_{w_i},w_{i+1},\dots,w_{n+1})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lfloor w_i)\\ &=n!\sum_{i=1}^{n+1}\es(w_1,\dots,w_{i-1},{}_{w_i}\lceil w_{i+1},\dots,w_{n+1})\EE(w_i\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\\ &\qquad-n!\sum_{i=2}^{n+1}\es(w_1,\dots,w_{i-1}\rceil{}_{w_i},w_{i+1},\dots,w_{n+1})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lfloor w_i) \end{align}
となる. 前の記事 の命題4を用いると, これは
\begin{align} &\preari_{n+1}(\EE)(w_1,\dots,w_{n+1})\\ &=n!\sum_{i=1}^{n+1}\es((w_1,\dots,w_{i-1})\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\es({}_{w_1\cdots w_i}\lceil w_{i+1},\dots,w_{n+1})\EE(w_i\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\\ &\qquad-n!\sum_{i=2}^{n+1}\es((w_1,\dots,w_{i-1}\rceil{}_{w_i})\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\es({}_{w_1\cdots w_i}\lceil w_{i+1},\dots,w_{n+1})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lfloor w_i)\\ &=n!\EE(w_1\rfloor_{w_2\cdots w_{n+1}})\es({}_{w_1}\lceil w_{2},\dots,w_{n+1})\\ &\qquad+n!\sum_{i=2}^{n+1}(\es((w_1,\dots,w_{i-1})\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\EE(w_i\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})-\es((w_1,\dots,w_{i-1}\rceil{}_{w_i})\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lfloor w_i))\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\es({}_{w_1\cdots w_i}\lceil w_{i+1},\dots,w_{n+1}) \end{align}
となる. ここで, $x_j:=w_j\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}}$とすると, 前の記事 の命題4とtripartite恒等式より, $2\leq i\leq n+1$のとき,
\begin{align} &\es((w_1,\dots,w_{i-1})\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\EE(w_i\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})-\es((w_1,\dots,w_{i-1}\rceil{}_{w_i})\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lfloor w_i)\\ &=\es(x_1,\dots,x_{i-1})\EE(x_i)-\es(x_1,\dots,x_{i-1}\rceil_{x_i})\EE({}_{x_1\cdots x_{i-1}}\lfloor x_i)\\ &=\es((x_1,\dots,x_{i-2})\rfloor_{x_{i-1}})(\EE({}_{x_1\cdots x_{i-2}}\lceil x_{i-1})\EE(x_i)-\EE({}_{x_1\cdots x_{i-2}}\lceil x_{i-1}\rceil_{x_i})\EE({}_{x_1\cdots x_{i-1}}\lfloor x_i))\\ &=\es((x_1,\dots,x_{i-2})\rfloor_{x_{i-1}})\EE({}_{x_1\cdots x_{i-2}}\lceil x_{i-1}\rfloor_{x_i})\EE({}_{x_1\cdots x_{i-1}}\lceil x_i)\\ &=\es(x_1,\dots,x_i)\\ &=\es((w_1,\dots,w_i)\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}}) \end{align}
である. よって,
\begin{align} &\preari_{n+1}(\EE)(w_1,\dots,w_{n+1})\\ &=n!\EE(w_1\rfloor_{w_2\cdots w_{n+1}})\es({}_{w_1}\lceil w_{2},\dots,w_{n+1})\\ &\qquad+n!\sum_{i=2}^{n+1}\es((w_1,\dots,w_i)\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_{n+1}})\es({}_{w_1\cdots w_i}\lceil w_{i+1},\dots,w_{n+1})\\ &=n!\es(w_1,\dots,w_{n+1})+n!\sum_{i=2}^{n+1}\es(w_1,\dots,w_{n+1})\\ &=(n+1)!\es(w_1,\dots,w_{n+1}) \end{align}
となって示すべき等式を得る.

\begin{align} \amit(C)(A\times B)(\bw)&=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw\\\bb,\bc\neq\varnothing}}(A\times B)(\ba{}_{\bb}\lceil\bc)C(\bb\rfloor_{\bc})\\ &=\sum_{\substack{\ba_1\ba_2\bb\bc=\bw\\\bb,\bc\neq\varnothing}}A(\ba_1)B(\ba_2,{}_{\bb}\lceil\bc)C(\bb\rfloor_{\bc})+\sum_{\substack{\ba\bb\bc_1\bc_2=\bw\\\bb,\bc_1\neq\varnothing}}A(\ba{}_{\bb}\lceil\bc_1)B(\bc_2)C(\bb\rfloor_{\bc_1})\\ &=\sum_{\ba_1\bd=\bw}A(\ba_1)\amit(C)(B)(\bd)+\sum_{\bd\bc_2=\bw}\amit(C)(A)(\bd)B(\bc_2)\\ &=(\amit(C)(A)\times B+A\times \amit(C)(B))(\bw) \end{align}
と示される. $\anit$の方も全く同様である.

定義から$\arit(B)(A)(\varnothing)=0$であることは明らかである. 余積$\Delta$を
\begin{align} \Delta(\bw):=\sum_{\ba\bb=\bw}\ba\otimes \bb \end{align}
によって定めたとき,
\begin{align} \Delta(\bx\,\text{ш}\,\by)=\sum_{\substack{\ba\bb=\bx\\\bc\bd=\by}}(\ba\sh\bc)\otimes(\bb\sh\bd) \end{align}
が成り立つ. これはシャッフル代数のHopf代数構造として知られているものである. これを用いると, $\bx,\by\neq \varnothing$として,
\begin{align} \amit(B)(A)(\bx\sh\by)=\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2\bb_2\bc_2=\by\\\bb_1\bb_2,\bc_1\bc_2\neq\varnothing}}A(\ba_1\sh\ba_2,\lceil(\bc_1\sh\bc_2))B((\bb_1\sh\bb_2)\rfloor) \end{align}
となる. ここで, flexion markerの下付き文字を省略しているが, それは$\bb_1\sh\bb_2,\bc_1\sh\bc_2$を展開したときの各項に対して決まっている. $B$はalternalであるから, $\bb_1,\bb_2$のいずれかが$\varnothing$の場合だけが残る. つまり,
\begin{align} &\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2\bb_2\bc_2=\by\\\bb_1\bb_2,\bc_1\bc_2\neq\varnothing}}A(\ba_1\sh\ba_2,\lceil(\bc_1\sh\bc_2))B((\bb_1\sh\bb_2)\rfloor)\\ &=\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2\bc_2=\by\\\bc_1\bc_2\neq\varnothing}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil(\bc_1\sh\bc_2))B(\bb_1\rfloor)+\sum_{\substack{\ba_1\bc_1=\bx\\\ba_2\bb_2\bc_2=\by\\\bc_1\bc_2\neq\varnothing}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_2}\lceil(\bc_1\sh\bc_2))B(\bb_2\rfloor) \end{align}
である. ここで, $\bc_1\sh\bc_2$の各項の1文字目を$c$と置きかえると, それが$\bc_1$から来ているか$\bc_2$から来ているかで場合分けすることで, 上の第1項は
\begin{align} &\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2\bc_2=\by\\\bc_1\bc_2\neq\varnothing}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil(\bc_1\sh\bc_2))B(\bb_1\rfloor)\\ &=\sum_{\substack{\ba_1\bb_1c\bd_1=\bx\\\ba_2\bc_2=\by}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil c,\bd_1\sh\bc_2)B(\bb_1\rfloor_c)+\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2c\bd_2=\by}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil c,\bc_1\sh\bd_2)B(\bb_1\rfloor_c) \end{align}
となる. つまり,
\begin{align} \amit(B)(A)(\bx\sh\by)=\sum_{\substack{\ba_1\bb_1c\bd_1=\bx\\\ba_2\bc_2=\by}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil c,\bd_1\sh\bc_2)B(\bb_1\rfloor_c)+\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2c\bd_2=\by}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil c,\bc_1\sh\bd_2)B(\bb_1\rfloor_c)+\mathrm{idem}(\bx;\by) \end{align}
が成り立つ. ここで, $f(\bx;\by)+\mathrm{idem}(\bx;\by):=f(\bx;\by)+f(\by;\bx)$を意味する. この第1項は, $A$がalternalであることにより,
\begin{align} &\sum_{\substack{\ba_1\bb_1c\bd_1=\bx\\\ba_2\bc_2=\by}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil c,\bd_1\sh\bc_2)B(\bb_1\rfloor_c)=\sum_{\substack{\ba_1\bb_1c\bd_1=\bx}}A((\ba_1,{}_{\bb_1}\lceil c,\bd_1)\sh\by)B(\bb_1\rfloor_c)=0 \end{align}
であるから, 第2項だけが残り,
\begin{align} \amit(B)(A)(\bx\sh\by)=\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2b\bc_2=\by}}A(\ba_1\sh\ba_2,{}_{\bb_1}\lceil b,\bc_1\sh\bc_2)B(\bb_1\rfloor_b)+\mathrm{idem}(\bx;\by) \end{align}
となる. 全く同様に,
\begin{align} \anit(B)(A)(\bx\sh\by)=\sum_{\substack{\ba_1\bb_1\bc_1=\bx\\\ba_2b\bc_2=\by}}A(\ba_1\sh\ba_2,b\rceil_{\bb_1} ,\bc_1\sh\bc_2)B({}_b\lfloor\bb_1)+\mathrm{idem}(\bx;\by) \end{align}
となり, これらは等しいので,
\begin{align} \arit(B)(A)(\bx\sh\by)=\amit(B)(A)(\bx\sh\by)-\anit(B)(A)(\bx\sh\by)=0 \end{align}
となって示すべきことが得られた.

$n\geq 0$に対し,
\begin{align} \preari_n(A)=n!\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r\\n_1+\cdots+n_r=n}}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r} \end{align}
であることを示せば, これを足し合わせることによって主張を得る. $n=0$のときは明らか, $n$のときに成り立つと仮定して$n+1$の場合を示す. $\arit(A)$が導分であることを用いると,
\begin{align} \preari_{n+1}(A)&=\preari(\preari_n(A),A)\\ &=\arit(A)(\preari_n(A))+\preari_n(A)\times A\\ &=n!\arit(A)\left(\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r\\n_1+\cdots+n_r=n}}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\right)+n!\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r\\n_1+\cdots+n_r=n}}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\times A_1\\ &=n!\sum_{i=1}^r\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r\\n_1+\cdots+n_r=n}}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_i+1}\times\cdots\times A_{n_r}\\ &\qquad+n!\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r\\n_1+\cdots+n_r=n}}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\times A_1\\ &=n!\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r\\n_1+\cdots+n_r=n+1}}\left(\sum_{\substack{1\leq i\leq r\\n_i\neq 1}}\Ex(n_1,\dots,n_i-1,\dots,n_r)+\Ex(n_1,\dots,n_{r-1})\delta_{n_r,1}\right)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r} \end{align}
となる. ただし, $\Ex(n_1,\dots,n_{r-1})$は$r=0$のときは$0$と見なす. ここで,
\begin{align} &\sum_{\substack{1\leq i\leq r\\n_i\neq 1}}\Ex(n_1,\dots,n_i-1,\dots,n_r)+\Ex(n_1,\dots,n_{r-1})\delta_{n_r,1}\\ &=\Ex(n_1,\dots,n_r)\sum_{i=1}^r(n_i-1)\prod_{j=1}^i\frac{n_j+\cdots+n_r}{n_j+\cdots+n_r-1} \end{align}
ただし, $i=r$の項は$n_r=1$のときは$1$と見なすものとする. このとき,
\begin{align} &\sum_{i=1}^r(n_i-1)\prod_{j=1}^i\frac{n_j+\cdots+n_i}{n_j+\cdots+n_i-1}\\ &=\sum_{i=1}^r((n_i+\cdots+n_r-1)-(n_{i+1}+\cdots+n_r))\prod_{j=1}^i\frac{n_j+\cdots+n_r}{n_j+\cdots+n_r-1}\\ &=\sum_{i=1}^r\left(\frac{\prod_{j=1}^i(n_j+\cdots+n_r)}{\prod_{j=1}^{i-1}(n_j+\cdots+n_r-1)}-\frac{\prod_{j=1}^{i+1}(n_j+\cdots+n_r)}{\prod_{j=1}^{i}(n_j+\cdots+n_r-1)}\right)\\ &=n_1+\cdots+n_r\\ &=n+1 \end{align}
となるから, これを代入して,
\begin{align} \preari_{n+1}(A)&=(n+1)!\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r\\n_1+\cdots+n_r=n+1}}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r} \end{align}
を得る.

$A$がalternalであるから, 補題3より帰納的に$A_n=\arit(A)^{n-1}(A)$もalternalである. $\Ex$は反復積分によって
\begin{align} \Ex(n_1,\dots,n_r)=\frac 1{(n_1-1)!\cdots(n_r-1)!}\int_{1>t_1>\cdots>t_r>0}t_1^{n_1-1}\,dt_1\cdots t_r^{n_r-1}\,dt_r \end{align}
と表されるので, 反復積分のシャッフル積からsymmetralであることが分かる. これらと補題4を用いると
\begin{align} \expari(A)(\bx\sh\by)&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\Ex(n_1,\dots,n_r)\sum_{\substack{\bx_1\cdots\bx_r=\bx\\\by_1\cdots\by_r=\by}}A_{n_1}(\bx_1\sh\by_1)\cdots A_{n_r}(\bx_r\sh\by_r)\\ &=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\Ex(n_1,\dots,n_r)\sum_{\substack{0\leq a,1\leq i_1<\cdots< i_a\leq r\\0\leq b,1\leq j_1<\cdots< j_b\leq r\\\{i_1,\dots,i_a\}\sqcup\{j_1,\dots,j_b\}=\{1,\dots,r\}}}A_{n_{i_1}}(\bx_{i_1})\cdots A_{n_{i_a}}(\bx_{i_a})A_{n_{j_1}}(\by_{j_1})\cdots A_{n_{j_a}}(\by_{j_a})\\ &=\sum_{\substack{0\leq a,1\leq m_1,\dots,m_a\\0\leq b,1\leq l_1,\dots,l_b}}A_{m_1}(\bx_1)\cdots A_{m_a}(\bx_a)A_{l_1}(\by_1)\cdots A_{l_b}(\by_b)\sum_{\substack{1\leq i_1<\cdots< i_a\leq a+b\\1\leq j_1<\cdots< j_b\leq a+b\\\{i_1,\dots,i_a\}\sqcup\{j_1,\dots,j_b\}=\{1,\dots,a+b\}\\(n_{i_1},\dots,n_{i_a})=(m_1,\dots,m_a)\\(n_{j_1},\dots,n_{j_b})=(l_1,\dots,l_b)}}\Ex(n_1,\dots,n_{a+b})\\ &=\sum_{\substack{0\leq a,1\leq m_1,\dots,m_a\\0\leq b,1\leq l_1,\dots,l_b}}A_{m_1}(\bx_1)\cdots A_{m_a}(\bx_a)A_{l_1}(\by_1)\cdots A_{l_b}(\by_b)\Ex((m_1,\dots,m_a)\sh(l_1,\dots,l_b))\\ &=\sum_{\substack{0\leq a,1\leq m_1,\dots,m_a\\0\leq b,1\leq l_1,\dots,l_b}}A_{m_1}(\bx_1)\cdots A_{m_a}(\bx_a)A_{l_1}(\by_1)\cdots A_{l_b}(\by_b)\Ex(m_1,\dots,m_a)\Ex(l_1,\dots,l_b)\\ &=\expari(A)(\bx)\expari(A)(\by) \end{align}
となって示すべき等式を得る.