Flexion unit
$w_i=\left(u_i\atop v_i\right)$として,
\begin{align}
\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_r\\v_1,\dots,v_r\end{matrix}\right)&=(w_1,\dots,w_r)\\
&=w_1\cdots w_r
\end{align}
のように表し, これを長さ$r$のbiwordという. 一般の長さのbiwordを引数とする関数をbimouldという. ここでは, 値域は可換環であるとする. 長さ$r$のwordに対してのみ$0$でない値をとるようなmouldを長さ$r$のbimouldという. Flexion markerを
\begin{align}
{}_{w_1\cdots w_i}\lceil(w_{i+1}\cdots w_r)&=\left(\begin{matrix}u_1+\cdots+u_i+u_{i+1},u_{i+2},\dots,u_r\\v_{i+1},v_{i+2},\dots,v_r\end{matrix}\right)\\
{}_{w_1\cdots w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r)&=\left(\begin{matrix}u_{i+1},u_{i+2},\dots,u_r\\v_{i+1}-v_i,v_{i+2}-v_i,\dots,v_r-v_i\end{matrix}\right)\\
(w_1\cdots w_i)\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r}&=\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_{i-1},u_i+u_{i+1}+\cdots+u_r\\v_1,\dots,v_{i-1},v_i\end{matrix}\right)\\
(w_1\cdots w_i)\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_r}&=\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_{i-1},u_i\\v_1-v_{i+1},\dots,v_{i-1}-v_{i+1},v_i-v_{i+1}\end{matrix}\right)
\end{align}
とする.
長さ$1$のbimould$\EE$は次の条件を満たすとき, false unitであるという.
\begin{align}
\EE(w_1)\EE(w_2)&=\EE(w_1\rceil_{w_2})\EE({}_{w_1}\lfloor w_2)+\EE(w_1\rfloor_{w_2})\EE({}_{w_1}\lceil w_2).
\end{align}
この関係式をtripartite恒等式という. さらに,
\begin{align}
\EE\left(u_1\atop v_1\right)&=-\EE\left(-u_1\atop -v_1\right)\\
\end{align}
が成り立つとき, $\EE$はflexion unitであるという.
Flexion unitに関する積
長さ$1$のwordの間の演算$\diamond=\diamond_{\EE}$を
\begin{align}
w_1\diamond w_2:=-w_1\rceil_{w_2}\EE({}_{w_1}\lfloor w_2)-\EE(w_1\rfloor_{w_2}){}_{w_1}\lceil w_2
\end{align}
によって定義する. ここで, 右辺は形式的な線形和である.
\begin{align}
\ez(w_1,\dots,w_r):=\EE(w_1)\cdots\EE(w_r)
\end{align}
とする(長さ$0$のbiword$\varnothing$に対しては$1$と定める). このとき, 以下が成り立つ.
$\EE$がfalse unitであるとき, $\diamond$は可換かつ結合的であり,
\begin{align}
w_1\diamond\cdots \diamond w_r=(-1)^{r-1}\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i}){}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r}\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
が成り立つ.
$r=1$の場合は明らか, $r\geq 1$とする. $r$まで主張が成り立つと仮定して, $r+1$の場合を示す.
\begin{align}
&(w_1\diamond\cdots\diamond w_r)\diamond w_{r+1}\\
&=\left((-1)^{r-1}\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i}){}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r}\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))\right)\diamond w_{r+1}\\
&=(-1)^{r-1}\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r}\diamond w_{r+1})\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))\\
&=(-1)^r\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r+1}}\EE({}_{w_i}\lfloor w_{r+1})+\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil (w_i\rfloor_{w_{r+1}})\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r}})({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1}))\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))\\
&=(-1)^r\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i}){}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r+1}}\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))\\
&\qquad+(-1)^r\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil (w_i\rfloor_{w_{r+1}})\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r}})\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r)){}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1}
\end{align}
ここで, tripartite恒等式より,
\begin{align}
\EE(w_1\diamond w_2)=-\EE(w_1\rceil_{w_2})\EE({}_{w_1}\lfloor w_2)-\EE(w_1\rfloor_{w_2})\EE({}_{w_1}\lceil w_2)=-\EE(w_1)\EE(w_2)
\end{align}
となる. これを繰り返し用いると, $\EE(w_1\diamond\cdots \diamond w_r)=(-1)^{r-1}\EE(w_1)\cdots \EE(w_r)=(-1)^{r-1}\ez(w_1,\dots,w_r)$となる. よって,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil (w_i\rfloor_{w_{r+1}})\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r}})\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))\\
&=\EE\left(\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i}){}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil (w_i\rfloor_{w_{r+1}}\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r}})\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))\right)\\
&=(-1)^{r-1}\EE\left(w_1\rfloor_{w_{r+1}}\diamond\cdots\diamond w_r\rfloor_{w_{r+1}}\right)\\
&=\ez\left((w_1\cdots w_r)\rfloor_{w_{r+1}}\right)
\end{align}
となる. これより,
\begin{align}
&(w_1\diamond\cdots\diamond w_r)\diamond w_{r+1}\\
&=(-1)^r\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i}){}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r+1}}\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))\\
&\qquad+(-1)^r\ez\left((w_1\cdots w_r)\rfloor_{w_{r+1}}\right){}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1}\\
&=(-1)^r\sum_{i=1}^{r+1}\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i}){}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r+1}}\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))
\end{align}
となって$r+1$の場合が示された. 右辺の表示は$w_1,\dots,w_{r+1}$に関して対称的であるから, 結合的であることも分かる.
特に, 両辺に$\EE$を作用させて, $\EE(w_1\diamond\cdots \diamond w_r)=(-1)^{r-1}\ez(w_1,\dots,w_r)$であることを用いると以下を得る.
$\EE$がfalse unitであるとき,
\begin{align}
\ez(w_1,\dots,w_r)=\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
が成り立つ.
例として, $\mathrm{Pi}(w_1):=\frac 1{v_1}$はflexion unitであり, その場合の上の系は
\begin{align}
\frac 1{v_1\cdots v_r}=\sum_{i=1}^r\left(\prod_{j=1}^{i-1}\frac 1{v_j-v_i}\right)\frac 1{v_i}\left(\prod_{j=i+1}^r\frac 1{v_j-v_i}\right)
\end{align}
となる. $v_i\mapsto v_i-t$とした式
\begin{align}
\frac 1{(v_1-t)\cdots (v_r-t)}=\sum_{i=1}^r\left(\prod_{j=1}^{i-1}\frac 1{v_j-v_i}\right)\frac 1{v_i-t}\left(\prod_{j=i+1}^r\frac 1{v_j-v_i}\right)
\end{align}
は$t$に関する部分分数分解になっている. (これについては
たけのこ赤軍の記事
でも触れられている)
Bimould$A$に対して,
\begin{align}
\push(A)(w_1,\dots,w_r):=A\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_1-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)
\end{align}
によって$\push(A)$を定義する. $\push^i$で$\push$の$i$回合成を表すとする. Bimould$A$は任意の$r\geq 1$に対し
\begin{align}
\sum_{i=0}^r\push^i(A)(w_1,\dots,w_r)=0
\end{align}
を満たすとき, $\push$-neutralであるという. このとき, 以下が成り立つ.
$\EE$がflexion unitのとき, $\ez$は$\push$-neutralである.
定義から, $1\leq i\leq r$に対し,
\begin{align}
\push^{r+1-i}(\ez)(w_1,\dots,w_r)&=\ez\left(\begin{matrix}u_{i+1},\dots,u_r,-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{i-1}\\v_{i+1}-v_i,\dots,v_r-v_i,-v_i,v_1-v_i,\dots,v_{i-1}-v_i\end{matrix}\right)\\
&=-\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
である. よって, 系1より,
\begin{align}
&\sum_{i=0}^r\push^i(\ez)(w_1,\dots,w_r)\\
&=\ez(w_1,\dots,w_r)+\sum_{i=1}^r\push^{r+1-i}(\ez)(w_1,\dots,w_r)\\
&=\ez(w_1,\dots,w_r)-\sum_{i=1}^r\ez((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\EE({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\ez(\lfloor_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))\\
&=0
\end{align}
である.
Biwordに対する演算を
\begin{align}
\varnothing\,\text{ш}_{\EE}\, (x_1,\dots,x_r)&:=(x_1,\dots,x_r)\,\text{ш}_{\EE}\,\varnothing =(x_1,\dots,x_r)\\
(x_1,\dots,x_r)\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_s)&:=((x_1,\dots,x_{r-1})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_s),x_r)+((x_1,\dots,x_{r})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s-1}),y_s)\\
&\qquad+((x_1,\dots,x_{r-1})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s-1}),x_r\diamond y_s)\qquad r,s\geq 1\\
\end{align}
によって再帰的に定める. つまり, $\text{ш}_{\EE}$は$\diamond$に関する準シャッフル積である. Bimould$A$は任意のbiword$\bx,\by$に対し,
\begin{align}
A(\bx\,\mathrm{ш}_{\EE}\,\by)=A(\bx)A(\by)
\end{align}
を満たし, さらに$A(\varnothing)=1$を満たすとき, $\EE$-symmetralといい, 任意の長さ$1$以上のbiword$\bx,\by$に対し,
\begin{align}
A(\bx\,\mathrm{ш}_{\EE}\,\by)=0
\end{align}
を満たし, さらに$A(\varnothing)=0$を満たすとき, $\EE$-alternalであるという.
$\EE=0$のときの$\EE$-symmetral, $\EE$-alternalは単にsymmetral, alternalであるという. そのときの$\text{ш}_{\EE}$は単に$\text{ш}$と書かれる通常のシャッフル積である. つまり, それは
\begin{align}
\varnothing\,\text{ш}\, (x_1,\dots,x_r)&:=(x_1,\dots,x_r)\,\text{ш}\,\varnothing =(x_1,\dots,x_r)\\
(x_1,\dots,x_r)\,\text{ш}\,(y_1,\dots,y_s)&:=((x_1,\dots,x_{r-1})\,\text{ш}\,(y_1,\dots,y_s),x_r)+((x_1,\dots,x_{r})\,\text{ш}\,(y_1,\dots,y_{s-1}),y_s)\qquad r,s\geq 1\\
\end{align}
によって再帰的に定義される積である.
$\ez$は$\EE$-symmetralである.
\begin{align}
\ez((x_1,\dots,x_r)\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_s))=\ez(x_1,\dots,x_r)\ez(y_1,\dots,y_s)
\end{align}
は$r=0$または$s=0$に対しては明らかに成り立つ. $r,s\geq 0$として, $(r+1,s),(r,s+1),(r,s)$の場合に上の式が成り立つとして$(r+1,s+1)$の場合を示せばよい.
\begin{align}
\ez((x_1,\dots,x_{r+1})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s+1}))&=\ez((x_1,\dots,x_{r})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s+1}),x_{r+1})+\ez((x_1,\dots,x_{r+1})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s}),y_{s+1})\\
&\qquad+\ez((x_1,\dots,x_{r})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s}),x_{r+1}\diamond y_{s+1})\\
&=\ez((x_1,\dots,x_{r})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s+1}))\EE(x_{r+1})+\ez((x_1,\dots,x_{r+1})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s}))\EE(y_{s+1})\\
&\qquad+\ez((x_1,\dots,x_{r})\,\text{ш}_{\EE}\,(y_1,\dots,y_{s}))\EE(x_{r+1}\diamond y_{s+1})\\
&=\ez(x_1,\dots,x_{r})\ez(y_1,\dots,y_{s+1})\EE(x_{r+1})+\ez(x_1,\dots,x_{r+1})\ez(y_1,\dots,y_{s})\EE(y_{s+1})\\
&\qquad-\ez(x_1,\dots,x_{r})\ez(y_1,\dots,y_{s})\EE(x_{r+1})\EE(y_{s+1})\\
&=\ez(x_1,\dots,x_{r+1})\ez(y_1,\dots,y_{s+1})
\end{align}
となって示すべきことが得られる.
例として, 多重ポリログを有限で打ち切った和
\begin{align}
L_N\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_r\\k_1,\dots,k_r\end{matrix}\right):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< N}\frac{e^{n_1u_1}\cdots e^{n_ru_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
を考えて, その母関数を
\begin{align}
Z_N\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_r\\v_1,\dots,v_r\end{matrix}\right)&:=\sum_{0< k_1,\dots,k_r}L_N\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_r\\k_1,\dots,k_r\end{matrix}\right)v_1^{k_1-1}\cdots v_r^{k_r-1}\\
&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< N}\frac{e^{n_1u_1}\cdots e^{n_ru_r}}{(n_1-v_1)\cdots (n_r-v_r)}
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
\frac {e^{nu_1}}{n-v_1}\frac{e^{nu_2}}{n-v_2}&=\frac 1{v_1-v_2}\frac{e^{n(u_1+u_2)}}{n-v_1}+\frac 1{v_2-v_1}\frac{e^{n(u_1+u_2)}}{n-v_2}\\
&=-\frac{e^{n(u_1+u_2)}}{n-v_1}\mathrm{Pi}({}_{w_1}\lfloor w_2)-\mathrm{Pi}(w_1\rfloor_{w_2})\frac{e^{n(u_1+u_2)}}{n-v_2}
\end{align}
と書ける. これは$\diamond_{\mathrm{Pi}}$と同じ形をしていることから, $Z_N$は$\mathrm{Pi}$-symmetralであることが分かる. $\mathrm{Pi}$-symmetral, $\mathrm{Pi}$-alternalであることをそれぞれsymmetril, alternilであるという.
共役unit
\begin{align}
\OO\left(\begin{matrix}u_1\atop v_1\end{matrix}\right):=\EE\left(\begin{matrix}v_1\atop u_1\end{matrix}\right)
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
$\EE$がflexion unitであるとき, $\OO$もflexion unitである. このときの$\OO$を共役unitという.
まず,
\begin{align}
\OO\left(u_1\atop v_1\right)=\EE\left(v_1\atop u_1\right)=-\EE\left(-v_1\atop -u_1\right)=-\OO\left(-u_1\atop -v_1\right)
\end{align}
である. 次に, $\EE$のtripartite恒等式より,
\begin{align}
\OO\left(u_1\atop v_1\right)\OO\left(u_2\atop v_2\right)&=-\EE\left(v_1\atop u_1\right)\EE\left(-v_2\atop -u_2\right)\\
&=-\EE\left(v_1-v_2\atop u_1\right)\EE\left(-v_2\atop -u_1-u_2\right)-\EE\left(v_1\atop u_1+u_2\right)\EE\left(v_1-v_2\atop -u_2\right)\\
&=\OO\left(u_1\atop v_1-v_2\right)\OO\left(u_1+u_2\atop v_2\right)+\OO\left(u_1+u_2\atop v_1\right)\OO\left(u_2\atop v_2-v_1\right)
\end{align}
となるので, $\OO$はflexion unitである.
この証明において, $\OO$のtripartite恒等式の証明にflexion unitの条件$\EE\left(u_1\atop v_1\right)=-\EE\left(-u_1\atop -v_1\right)$を用いていることに注意が必要である. False unit$\EE$に対して上のように$\OO$を定義したとき, $\OO$もfalse unitになるとは限らない. 例として,
\begin{align}
\EE\left(w_1\right):=\frac 1{1-e^{v_1}}
\end{align}
とすると, これはfalse unitであるが,
\begin{align}
\OO\left(w_1\right)=\frac 1{1-e^{u_1}}
\end{align}
はfalse unitにはなっていない.
$\EE$をflexion unit, $\OO$をその共役unitとする. Bimould$A$に対し$\swap(A)$を
\begin{align}
\swap(A)\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_r\\v_1,\dots,v_r\end{matrix}\right)=A\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r,\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)
\end{align}
によって定義する.
\begin{align}
\oz(w_1,\dots,w_r)&:=\mathfrak{O}(w_1)\cdots\mathfrak{O}(w_r)
\end{align}
として, $\es:=\swap(\oz), \os=\swap(\ez)$とする.
$\es$の性質
$\ez, \es$はprimary bimouldと呼ばれている. $\es$は明示的に
\begin{align}
\es\left(w_1,\dots,w_r\right)=\ez\left(\begin{matrix}u_1,u_1+u_2,\dots,u_1+\cdots+u_r\\v_1-v_2,\dots,v_{r-1}-v_r,v_r\end{matrix}\right)
\end{align}
と表される. $\EE$がfalse unitの場合に対しては, この表示によって$\es$を定義することにする. このとき, $\es$は以下の性質を持つ.
$\EE$がfalse unitであるとき,
\begin{align}
\es\left(w_1,\dots,w_r\right)=\es((w_1,\dots,w_i)\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_r})\es({}_{w_1\cdots w_i}\lceil(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
が成り立つ.
定義から,
\begin{align}
\es\left(w_1,\dots,w_r\right)&=\ez\left(\begin{matrix}u_1,u_1+u_2,\dots,u_1+\cdots+u_r\\v_1-v_2,\dots,v_{r-1}-v_r,v_r\end{matrix}\right)\\
&=\ez\left(\begin{matrix}u_1,u_1+u_2,\dots,u_1+\cdots+u_i\\v_1-v_2,\dots,v_{i-1}-v_i,v_i-v_{i+1}\end{matrix}\right)\ez\left(\begin{matrix}u_{1}+\cdots+u_{i+1},\dots,u_1+\cdots+u_r\\v_{i+1}-v_{i+2},\dots,v_{r-1}-v_r,v_r\end{matrix}\right)\\
&=\es((w_1,\dots,w_i)\rfloor_{w_{i+1}\cdots w_r})\es({}_{w_1\cdots w_i}\lceil(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
と示される.
特に,
\begin{align}
\es\left(w_1,\dots,w_r\right)=\es((w_1,\dots,w_{r-1})\rfloor_{w_r})\EE({}_{w_1\cdots w_{r-1}}\lceil w_r)
\end{align}
である. これを用いることで, 以下を示すことができる.
$\EE$がfalse unitであるとき, $\es$はsymmetralである.
\begin{align}
\es\left((x_1,\dots,x_r)\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_s)\right)&=\es(x_1,\dots,x_r)\es(y_1,\dots,y_s)
\end{align}
は$r=0$または$s=0$のときは明らかに成り立つ. $r,s\geq 0$として, $(r+1,s),(r,s+1)$の場合に上の式が成り立つとして$(r+1,s+1)$の場合を示せばよい.
\begin{align}
&\es\left((x_1,\dots,x_{r+1})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s+1})\right)\\
&=\es\left((x_1,\dots,x_{r})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s+1}),x_{r+1}\right)+\es\left((x_1,\dots,x_{r+1})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s}),y_{s+1}\right)\\
&=\es\left(((x_1,\dots,x_{r})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s+1}))\rfloor_{x_{r+1}}\right)\EE({}_{x_1\cdots x_ry_1\dots y_{s+1}}\lceil x_{r+1})+\es\left(((x_1,\dots,x_{r+1})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s}))\rfloor_{y_{s+1}}\right)\EE({}_{x_1\cdots x_{r+1}y_1\dots y_{s}}\lceil y_{s+1})
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\es\left(((x_1,\dots,x_{r})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s+1}))\rfloor_{x_{r+1}}\right)\\
&=\es\left((x_1,\dots,x_{r})\rfloor_{x_{r+1}}\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s+1})\rfloor_{x_{r+1}}\right)\\
&=\es\left((x_1,\dots,x_{r})\rfloor_{x_{r+1}})\es((y_1,\dots,y_{s+1})\rfloor_{x_{r+1}}\right)
\end{align}
であり, 同様に, $\es\left(((x_1,\dots,x_{r+1})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s}))\rfloor_{y_{s+1}}\right)=\es\left((x_1,\dots,x_{r+1})\rfloor_{y_{s+1}})\es((y_1,\dots,y_{s})\rfloor_{y_{s+1}}\right)$である. よって, これらを代入すると,
\begin{align}
&\es\left((x_1,\dots,x_{r+1})\,\mathrm{\text{ш}}\,(y_1,\dots,y_{s+1})\right)\\
&=\es\left((x_1,\dots,x_{r})\rfloor_{x_{r+1}})\es((y_1,\dots,y_{s+1})\rfloor_{x_{r+1}}\right)\EE({}_{x_1\cdots x_ry_1\dots y_{s+1}}\lceil x_{r+1})+\es\left((x_1,\dots,x_{r+1})\rfloor_{y_{s+1}})\es((y_1,\dots,y_{s})\rfloor_{y_{s+1}}\right)\EE({}_{x_1\cdots x_{r+1}y_1\dots y_{s}}\lceil y_{s+1})\\
&=\es\left((x_1,\dots,x_{r})\rfloor_{x_{r+1}})\es((y_1,\dots,y_{s})\rfloor_{y_{s+1}}\right)\EE({}_{y_1\cdots y_s}\lceil y_{s+1}\rfloor_{x_{r+1}})\EE({}_{x_1\cdots x_ry_1\dots y_{s+1}}\lceil x_{r+1})\\
&\qquad+\es\left((x_1,\dots,x_{r})\rfloor_{x_{r+1}})\es((y_1,\dots,y_{s})\rfloor_{y_{s+1}}\right)\EE({}_{x_1\cdots x_r}\lceil x_{r+1}\rfloor_{y_{s+1}})\EE({}_{x_1\cdots x_{r+1}y_1\dots y_{s}}\lceil y_{s+1})\\
&=\es\left((x_1,\dots,x_{r})\rfloor_{x_{r+1}})\es((y_1,\dots,y_{s})\rfloor_{y_{s+1}}\right)(\EE({}_{y_1\cdots y_s}\lceil y_{s+1}\rfloor_{x_{r+1}})\EE({}_{x_1\cdots x_ry_1\dots y_{s+1}}\lceil x_{r+1})+\EE({}_{x_1\cdots x_r}\lceil x_{r+1}\rfloor_{y_{s+1}})\EE({}_{x_1\cdots x_{r+1}y_1\dots y_{s}}\lceil y_{s+1}))\\
&=\es\left((x_1,\dots,x_{r})\rfloor_{x_{r+1}})\es((y_1,\dots,y_{s})\rfloor_{y_{s+1}}\right)\EE({}_{y_1\cdots y_s}\lceil y_{s+1})\EE({}_{x_1\cdots x_r}\lceil x_{r+1})\\
&=\es(x_1,\dots,x_{r+1})\es(y_1,\dots,y_{s+1})
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
