depth2の和公式の導出

これを証明します。

証明

$\zeta(1,k)+\zeta(1+k)$を考える。
$\zeta(1,k)+\zeta(1+k)$
$\displaystyle =\sum_{0< a < b}^\infty \frac{1}{ab^k}+\sum_{a=1}^\infty \frac{1}{a^{1+k}}$
$\displaystyle =\sum_{0 < a \le b}^\infty \frac{1}{ab^k}$
$\displaystyle =\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^b \frac{1}{ab^k}$
$\displaystyle =\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^\infty \frac{1}{b^k}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\right)$
$\displaystyle =\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^\infty \frac{1}{ab^{k-1}(a+b)}$
$\displaystyle =\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^\infty \left(\frac{1}{b^{k-1}(a+b)^2}+\frac{1}{ab^{k-2}(a+b)^2}\right)$
$\displaystyle =\zeta(k-1,2)+\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^\infty \frac{1}{ab^{k-2}(a+b)^2}$
$\displaystyle =\zeta(k-1,2)+\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^\infty \left(\frac{1}{b^{k-2}(a+b)^3}+\frac{1}{ab^{k-3}(a+b)^3}\right)$
$\displaystyle =\zeta(k-1,2)+\zeta(k-2,3)+\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^\infty \frac{1}{ab^{k-3}(a+b)^3}$
$\vdots$
$=\displaystyle \sum_{s=1}^{k-1}\zeta(s,k+1-s)+\sum_{b=1}^\infty \sum_{a=1}^\infty \frac{1}{a(a+b)^k}$
$=\displaystyle \sum_{s=1}^{k-1}\zeta(s,k+1-s)+\zeta(1,k)$
よって、$\zeta(1,k)+\zeta(1+k)=\displaystyle \sum_{s=1}^{k-1}\zeta(s,k+1-s)+\zeta(1,k)$

$\displaystyle \sum_{s=1}^{k-1}\zeta(s,k+1-s)=\zeta(1+k)$
よって初めの式は示された。

最後に

読んでいただきありがとうございます！m(__)m