depth2の和公式の導出

これを証明します。

証明

$\zeta (1,k)+\zeta (1+k)$を考える。
$\zeta (1,k)+\zeta (1+k)$
${\displaystyle =\sum _{0<a<b}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a{b}^k}+\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^{1+k}}}$
${\displaystyle =\sum _{0<a\le b}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a{b}^k}}$
${\displaystyle =\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a{b}^k}}$
${\displaystyle =\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^k}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b})}$
${\displaystyle =\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a{b}^{k-1}(a+b)}}$
${\displaystyle =\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{b^{k-1}(a+b{)}^2}+\frac{1}{a{b}^{k-2}(a+b{)}^2})}$
${\displaystyle =\zeta (k-1,2)+\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a{b}^{k-2}(a+b{)}^2}}$
${\displaystyle =\zeta (k-1,2)+\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{b^{k-2}(a+b{)}^3}+\frac{1}{a{b}^{k-3}(a+b{)}^3})}$
${\displaystyle =\zeta (k-1,2)+\zeta (k-2,3)+\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a{b}^{k-3}(a+b{)}^3}}$
$⋮$
$={\displaystyle \sum _{s=1}^{k-1}\zeta (s,k+1-s)+\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a(a+b{)}^k}}$
$={\displaystyle \sum _{s=1}^{k-1}\zeta (s,k+1-s)+\zeta (1,k)}$
よって、$\zeta (1,k)+\zeta (1+k)={\displaystyle \sum _{s=1}^{k-1}\zeta (s,k+1-s)+\zeta (1,k)}$

${\displaystyle \sum _{s=1}^{k-1}\zeta (s,k+1-s)=\zeta (1+k)}$
よって初めの式は示された。

最後に

読んでいただきありがとうございます！m(__)m