フーリエ級数展開(周期2L)

　フーリエ級数展開は、周期$2\pi$の時に展開するものであった。しかし、現実では周期が$2\pi$の時しか使えないのはとても扱いづらい。そこで、周期が$2L$となった時、つまりフーリエ変換について考えていきたい。

フーリエ級数展開のおさらい

式

$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx+b_n \sin nx) $$

展開係数

$$ a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx\ $$
$$ b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx\ $$

周期2Lの場合

周期$:2L$
$y=\frac{L}{\pi}x$と変数を変換する。
$f(x)=f(\frac{x\pi}{2})=g(y)$とする。(この時、$g(y)$は次の周期性を満たす。$g(y+2L)=g(y)$)
この時式は、
$$ g(y)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac{n\pi}{L}y+b_n\sin \frac{n\pi}{L}y) $$
となる。この時、
$$ a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g(y)\cos(\frac{x\pi}{L}y)dy\ $$
$$ b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g(y)\sin(\frac{x\pi}{L}y)dy\ $$
である。
また、複素フーリエ変換の場合を考える。級数展開の時は次のような式であった。
$$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx} $$
$$ c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)dx\ $$
　これを周期$2L$の範囲とすると、
$$ g(y)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{n\pi y}{L}} $$
$$ c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^{L}e^{-i\frac{n\pi y}{L}} g(y)dy\ $$
となる。

$g(y)$の$2L$における周期性

　先に示したように、関数$g(y)$は周期$2L$の関数であり、$g(y+2L)=g(y)$となる。これをフーリエ変換の式に当てはめて確かめて見る。
$$ g(y+2L)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(\frac{n\pi}{L}y+\frac{n\pi}{L}2L)+(b_n \sin(\frac{n\pi}{L}y+\frac{n\pi}{L}2L))=g(y) $$
となる。つまり、$\frac{n\pi}{L}2L=2n\pi $となり、正弦余弦どちらにおいても永遠に角度$0$と同義となる。よって、式そのものに変化をもたらさない為、$g(y+2L)=g(y)$と言える。