フーリエ級数展開(周期2L)

　フーリエ級数展開は、周期$2\pi$の時に展開するものであった。しかし、現実では周期が$2\pi$の時しか使えないのはとても扱いづらい。そこで、周期が$2L$となった時、つまりフーリエ変換について考えていきたい。

フーリエ級数展開のおさらい

式

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

展開係数

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$$
$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$

周期2Lの場合

周期$:2L$
$y=\frac{L}{\pi }x$と変数を変換する。
$f(x)=f(\frac{x\pi }{2})=g(y)$とする。(この時、$g(y)$は次の周期性を満たす。$g(y+2L)=g(y)$)
この時式は、
$$g(y)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi }{L}y+b_n\sin \frac{n\pi }{L}y)$$
となる。この時、
$$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}g(y)\cos \left(\frac{x\pi }{L}y\right)dy$$
$$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}g(y)\sin \left(\frac{x\pi }{L}y\right)dy$$
である。
また、複素フーリエ変換の場合を考える。級数展開の時は次のような式であった。
$$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{inx}$$
$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-inx}f(x)dx$$
　これを周期$2L$の範囲とすると、
$$g(y)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i\frac{n\pi y}{L}}$$
$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-L}^L{e}^{-i\frac{n\pi y}{L}}g(y)dy$$
となる。

$g(y)$の$2L$における周期性

　先に示したように、関数$g(y)$は周期$2L$の関数であり、$g(y+2L)=g(y)$となる。これをフーリエ変換の式に当てはめて確かめて見る。
$$g(y+2L)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (\frac{n\pi }{L}y+\frac{n\pi }{L}2L)+(b_n\sin (\frac{n\pi }{L}y+\frac{n\pi }{L}2L))=g(y)$$
となる。つまり、$\frac{n\pi }{L}2L=2n\pi$となり、正弦余弦どちらにおいても永遠に角度$0$と同義となる。よって、式そのものに変化をもたらさない為、$g(y+2L)=g(y)$と言える。