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級数の問題

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{asn}[0]{\hspace{16pt}(\mathrm{as}\ n\to\infty)} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}} \newcommand{c}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{cb}[0]{\binom{2n}{n}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}} \newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2} \newcommand{I}[0]{\mathrm{I}} \newcommand{l}[0]{\ell} \newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{nck}[0]{\binom{n}{k}} \newcommand{p}[0]{\varphi} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{space}[0]{\hspace{12pt}} \newcommand{sumk}[1]{\sum_{k={#1}}^n} \newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{tc}[0]{\TextCenter} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

${}$

この記事では, Narasakiさんという方がツイートされていた, 以下の 級数の問題 の, 私の解法を書こうと思います.

$$\sumn{1}\frac{(2n-1)!}{(2n+2)!}\zeta(2n)=\ ?$$

${}$

(解答)

級数
$$\sumn{1}\frac{\zeta(2n)}{2n}x^{2n}=\frac12\log\frac{πx}{\sinπx}$$
を使います.

これの証明は, $\ds\frac{d^n}{dx^n}\log\G{x}\Big|_{x=1}=(-1)^n\G{n}\zeta(n)\space(n\geq2)$ を用いるか, 無限和を入れ替えて$\sin$の無限積表示を用いれば良いです.

上の式を両辺$2$回積分して,
$$\beq \sumn{1}\frac{\zeta(2n)}{2n(2n+1)(2n+2)}&=&\int_0^1\int_0^x\frac12\log\frac{πy}{\sinπy}\,dy\,dx\\[5pt] &=&-\left[(1-x)\int_0^x\frac12\log\frac{πy}{\sinπy}dy\right]_0^1\\[5pt] &&\space\space+\frac12\int_0^1(1-x)\log\frac{πx}{\sinπx}\,dx\\[5pt] &=&\frac12\int_0^1(1-x)\log\frac{πx}{\sinπx}\,dx \eeq$$

ここで
$$ \int_0^1(1-x)(\logπ+\log x)\,dx=\frac{2\logπ-3}{4} $$

また,
$$\beq \int_0^1(1-x)\log\sinπx\,dx=\int_0^1x\log\sinπx\,dx \eeq$$
($x\mapsto1-x$としました) より
$$\beq \int_0^1(1-x)\log\sinπx\,dx&=&\frac12\int_0^1\log\sinπx\,dx\\[5pt] &=&-\frac12\log2 \eeq$$

以上より,
$$\sumn{1}\frac{(2n-1)!}{(2n+2)!}\zeta(2n)=\frac{2\log(2π)-3}{8}$$
とわかりました.

${}$

${}$

投稿日:2021126

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投稿者

東大理数B4です

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