級数の問題
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この記事では, Narasakiさんという方がツイートされていた, 以下の 級数の問題 の, 私の解法を書こうと思います.
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(解答)
級数
$$\sumn{1}\frac{\zeta(2n)}{2n}x^{2n}=\frac12\log\frac{πx}{\sinπx}$$
を使います.
これの証明は, $\ds\frac{d^n}{dx^n}\log\G{x}\Big|_{x=1}=(-1)^n\G{n}\zeta(n)\space(n\geq2)$ を用いるか, 無限和を入れ替えて$\sin$の無限積表示を用いれば良いです.
上の式を両辺$2$回積分して,
$$\beq
\sumn{1}\frac{\zeta(2n)}{2n(2n+1)(2n+2)}&=&\int_0^1\int_0^x\frac12\log\frac{πy}{\sinπy}\,dy\,dx\\[5pt]
&=&-\left[(1-x)\int_0^x\frac12\log\frac{πy}{\sinπy}dy\right]_0^1\\[5pt]
&&\space\space+\frac12\int_0^1(1-x)\log\frac{πx}{\sinπx}\,dx\\[5pt]
&=&\frac12\int_0^1(1-x)\log\frac{πx}{\sinπx}\,dx
\eeq$$
ここで
$$
\int_0^1(1-x)(\logπ+\log x)\,dx=\frac{2\logπ-3}{4}
$$
また,
$$\beq
\int_0^1(1-x)\log\sinπx\,dx=\int_0^1x\log\sinπx\,dx
\eeq$$
($x\mapsto1-x$としました) より
$$\beq
\int_0^1(1-x)\log\sinπx\,dx&=&\frac12\int_0^1\log\sinπx\,dx\\[5pt]
&=&-\frac12\log2
\eeq$$
以上より,
$$\sumn{1}\frac{(2n-1)!}{(2n+2)!}\zeta(2n)=\frac{2\log(2π)-3}{8}$$
とわかりました.
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