JMO2021予選　解答解説 (5~8)

JMO,JMO2021予選解答解説

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本番でやらかしてしまったnoyarulerによる禊解説です。ご査収ください。

5.下図のように, 一辺の長さが $1$ の立方体 $4$ 個からなるブロックが $4$ 種類ある. このようなブロック $4$ 個を $2 \times 2 \times 4$ の直方体の箱にはみ出さないように入れる方法は何通りあるか. ただし, 同じ種類のブロックを複数用いてもよく, ブロックは回転させてもよい. また, 箱を回転させて一致する入れ方は異なるものとして数える.

jmo2021y5

答え $379$ 通り

D以外のブロックはどれも、同じブロックを $2$ つ組み合わせて $2 \times 2 \times 2$ の立方体の箱にはみ出さないように入れる必要がある。箱の向きを固定したとき、各ブロック $2$ つの入れ方は、A,B,C,Dそれぞれ $4$ , $6$ , $6$ , $3$ 通りである。できた $2 \times 2 \times 2$ の立方体の箱をEと呼ぶことにすると、 $2 \times 2 \times 4$ の直方体の箱にはみ出さないようにブロックを入れる方法は、E-Eの順で入れるか、または、D-E-Dの順で入れるか、の場合がある。
前者は、 $(4 + 6 + 6 + 3) \times (4 + 6 + 6 + 3) = 361$ 通りで、
後者は、 $4 + 6 + 6 + 3 = 19$ 通りである。
前者、後者で、ともにD-D-D-Dの入れ方を数えているので、これを考慮して、求める答えは $361 + 19 - 1 = 379$ 通りとなる。

6.正の整数 $n$ に対して, 正の整数 $m$ であって $m$ と $n$ が互いに素であり, $m + 1$ と $n + 1$ も互いに素となるようなもののうち最小のものを $f (n)$ で表す.このとき, $f (1), f (2), \dots, f (10^{10})$ のうちに現れる正の整数は何種類あるか.

答え $11$ 種類

以下、正の整数 $m$ であって $m$ と $n$ が互いに素で、 $m + 1$ と $n + 1$ も互いに素となるという条件を単に「条件」という。
まず、 $n$ を偶数とすれば、 $m = 1$ が条件を満たし、さらに正の整数として最小であるから、 $f (n) = 1$ が分かる。
次に $n + 1$ が $2$ の倍数のときについて考える。 $f (n)$ は $2$ の倍数であることが必要である。
$n + 1$ が $3$ の倍数でないとき、 $f (n) = 2$ 。
$n + 1$ が $3$ の倍数のとき、
　　 $n + 1$ が $5$ の倍数でないとき、 $f (n) = 2 * 3 - 2 = 4$ 。
　　 $n + 1$ が $5$ の倍数のとき、
　　　　 $n + 1$ が $7$ の倍数でないとき、 $f (n) = 2 * 3 * 5 - 2 = 28$ 。
$⋮$
というように、 $f (n)$ が定まる。以上の考察から、 $f (n)$ として現れるのは、小さい順に、 $1, 2, 4, 28, 208, 2308, \dots$ となり、これらを与える最小の $n$ は、 $2, 1, 5, 29, 209, 2309, \dots$ である。小さい方から $n$ 番目までの素数の積を $p (n)$ とすれば、 $n \leq 10^{10}$ で $f (n)$ として現れるのは、 $1, 2, p (2) - 2, p (3) - 2, \dots, p (10) - 2 = 6469693230$ の $11$ 種類となる。

7.三角形ABCの辺BC上に点P,Qがあり,三角形ACPの垂心と三角形ABQの垂心は一致している. AB $= 10$ , AC= $11$ , BP $= 5$ , CQ $= 6$ のとき, 辺BCの長さを求めよ.
ただし, XYで線分XYの長さを表すものとする.

答え $\sqrt{231}$

座標平面を用いる。
下図において、A $(0, t > 0)$ , B $(- \sqrt{100 - t^{2}}, 0)$ , C $(\sqrt{121 - t^{2}}, 0)$ , P $(5 - \sqrt{100 - t^{2}}, 0)$ , Q $(\sqrt{121 - t^{2}} - 6, 0)$ とし、三角形ACPと三角形ABQの垂心は $y$ 軸上の点D $(0, s)$ で一致しているとする。

jmo2021y7

AB : $y = \frac{t}{\sqrt{100 - t^{2}}} x + t$
AC : $y = - \frac{t}{\sqrt{121 - t^{2}}} x + t$
AB⊥DQ、AC⊥DPなので、傾きの積 $= - 1$ に注意して、
DP : $y = \frac{\sqrt{121 - t^{2}}}{t} (x - (5 - \sqrt{100 - t^{2}}))$
DQ : $y = - \frac{\sqrt{100 - t^{2}}}{t} (x - (\sqrt{121 - t^{2}} - 6))$
DP , DQ の交点が D $(0, s)$ であるから、
$s = \frac{\sqrt{121 - t^{2}}}{t} (\sqrt{100 - t^{2}} - 5) = \frac{\sqrt{100 - t^{2}}}{t} (\sqrt{121 - t^{2}} - 6)$
これより、 $t^{2} = \frac{575}{11}$
求める長さは $B C = \sqrt{121 - t^{2}} + \sqrt{100 - t^{2}} = 6 \sqrt{\frac{21}{11}} + 5 \sqrt{\frac{21}{11}} = \sqrt{231}$

8. $2$ 以上 $20$ 以下の整数の組 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{17})$ であって,
$a_{1}^{a_{2}^{\dots^{a_{17}}}} \equiv a_{2}^{a_{3}^{\dots^{a_{17}}}} \equiv 1 (\mod 17)$
となるものの個数を求めよ. ただし, 指数は右上にある $2$ 数から順に計算する.

答え $2042 \cdot 19^{14}$ 個

フェルマーの小定理から、 $a_{1}$ と $17$ が互いに素なら、 $a_{1}^{16} \equiv 1 (\mod 17)$ である。 $a_{1} \equiv 1$ の場合に気を付けて、次のように場合分けする。
$a_{1} = 18$ のとき、
$a_{2} = 18$ のとき、 $a_{3} \dots a_{17}$ は任意。この場合、 $19^{15}$ 個。
$a_{2} \neq 17, 18$ のとき、 $a_{3}$ が偶数で、 $a_{4}, a_{5} \dots a_{17}$ は任意。この場合、 $17 \cdot 10 \cdot 19^{14}$ 個。
$a_{1} \neq 17, 18$ のとき、 $a_{2}^{a_{3}^{\dots^{a_{17}}}}$ が $16$ の倍数であることが必要。よって $a_{2}$ は $2$ の倍数。
$a_{2} = 18$ のとき、 $a_{3}, a_{4} \dots a_{17}$ は任意。この場合、 $17 \cdot 19^{15}$ 個。
$a_{2} \neq 17, 18$ のとき、 $a_{2}, a_{3}$ が偶数で $a_{4}, a_{5} \dots a_{17}$ は任意。この場合、 $17 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 19^{14}$ 個。
以上あわせて、 $2042 \cdot 19^{14}$ 個。