背理法による。
自然数の集合 $\mathbb{N}$ が上に有界でないと仮定して矛盾を導く。
$\sup\mathbb{N}<+\infty$ であると仮定する。
このとき，$s:=\sup\mathbb{N}$ とおくと，$s$ は $\mathbb{N}$ の上界であるから，任意の自然数 $n$ に対して $n\le s$ が成り立つ。
また，$s$ は $\mathbb{N}$ の上界のうちの最小数であるから，$N>s-\frac{1}{2}$ を満たす自然数 $N$ が存在する。
ところが，$N+1\in\mathbb{N}$ かつ $N+1>N+\frac{1}{2}>s$ であるから，$s$ が $\mathbb{N}$ の上界であるという仮定に反する。$\blacksquare$