解答：上に有界な整数の部分集合は最大数を持つこと

集合 $A$ は上に有界であり，要素はすべて整数であると仮定する。

$s:=supA$ とおくと，$m>s-\frac{1}{2}$ を満たす $m\in A$ が存在する。

したがって，任意の $a\in A$ に対し，$a\le s<m+\frac{1}{2}$ が成り立つ。

また，これより特に任意の $a\in A$ に対して $a\le m$ が成り立つ。
なぜならば，もし $a\in A$ かつ $a>m$ を満たす $a$ が存在すると仮定すると，$a$ と $m$ は整数であるから $a-m\ge 1$，したがって $m+1\le a$ となるが，これと $a<m+\frac{1}{2}$ とは両立しえないからである。

以上により，$m=maxA(=supA=s)$ である。$◼$