集合 $A$ は上に有界であり，要素はすべて整数であると仮定する。
$s:=\sup A$ とおくと，$m>s-\frac{1}{2}$ を満たす $m\in A$ が存在する。
したがって，任意の $a\in A$ に対し，$a\le s< m+\frac{1}{2}$ が成り立つ。
また，これより特に任意の $a\in A$ に対して $a\le m$ が成り立つ。
なぜならば，もし $a\in A$ かつ $a>m$ を満たす $a$ が存在すると仮定すると，$a$ と $m$ は整数であるから $a-m\ge 1$，したがって $m+1\le a$ となるが，これと $a< m+\frac{1}{2}$ とは両立しえないからである。
以上により，$m=\max A(=\sup A=s)$ である。$\blacksquare$