0

解答:上に有界な整数の部分集合は最大数を持つこと

28
0
$$$$

集合 $A$ は上に有界であり,要素はすべて整数であると仮定する。

$s:=\sup A$ とおくと,$m>s-\frac{1}{2}$ を満たす $m\in A$ が存在する。

したがって,任意の $a\in A$ に対し,$a\le s< m+\frac{1}{2}$ が成り立つ。

また,これより特に任意の $a\in A$ に対して $a\le m$ が成り立つ。
なぜならば,もし $a\in A$ かつ $a>m$ を満たす $a$ が存在すると仮定すると,$a$$m$ は整数であるから $a-m\ge 1$,したがって $m+1\le a$ となるが,これと $a< m+\frac{1}{2}$ とは両立しえないからである。

以上により,$m=\max A(=\sup A=s)$ である。$\blacksquare$

投稿日:2021126

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

ひとまず,解析の基礎に関する演習問題として思いつくものを一通り形になすことを当面の目標とする。 前提知識に関するまとめの作成や,問題の配列についてはいずれどうにかしたい。 線形代数などの他の「基礎科目」についても時々投稿するつもりでいる。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中