実数の部分集合 $A$ が有界であるとは，$A$ が上に有界であり，かつ下にも有界であることをいう。
実数の部分集合 $A$ が有界であるための必要十分条件は，ある実数 $b$ が存在して，任意の $a\in A$ に対して $|a|\le b$ が成り立つことであることを示せ。