解答：集合が有界であること

まず必要性を示す。

集合 $A$ が有界であるとき，$A$ は上に有界であり，かつ下に有界であるから，ある実数 $x$，$y$ が存在して，任意の $a\in A$ に対し，$a\le x$ かつ $a\ge y$ が成り立つ。ここで $b:=\max(|x|,|y|)$ ととると，任意の $a\in A$ に対して $a\le x\le |x|\le b$ かつ $a\ge y\ge -|y|\ge -b$ が成り立つから，$|a|\le b$ が成り立つこととなる。

次に十分性を示す。

ある実数 $b$ が存在して，任意の $a\in A$ に対して $|a|\le b$ が成り立つと仮定する。このとき，任意の $a\in A$ に対して $a\le b$ かつ $a\ge -b$ が成り立つから，集合 $A$ は上に有界であり，かつ下に有界である。$\blacksquare$