プチ定義集：イデアルの拡大・縮小
可換環の準同型によって，定義域と値域のイデアルの間に対応関係が与えられます．
$f \colon A \to B$ を可換環の準同型とする．
(1) $B$ のイデアル $J$ に対し，逆像 $f^{-1}(J)$ を $J$ の（$f$ による）縮小という．
(2) $A$ のイデアル $I$ に対し，像 $f(I)$ が生成する $B$ のイデアルを $I$ の（$f$ による）拡大という．
イデアルの準同型による逆像は常にイデアルになりますが，像は一般にイデアルにはなりません．この差のゆえに，縮小は単に逆像で定義されるのに対し，拡大は生成するイデアルとしてしか定義できません．
準同型によるイデアルの像がイデアルとなる場合として，$f$ が全写像のときが挙げられます．環準同型 $f \colon A \to B$ が全写像ならば，任意の $A$ のイデアル $I$ の像 $f(I)$ は $B$ のイデアルになります．
２つの互いに対応する操作が与えられたとき，それらの合成との関係を調べたいものです．つまり，$A$ のイデアル $I$ を拡大して縮小したら，また $B$ のイデアル $J$ を縮小して拡大したらどうなるか見てみましょう．
$f \colon A \to B$ を環準同型とする．
(1) $A$ のイデアル $I$ に対し $IB \cap A \supset I$．
(2) $B$ のイデアル $J$ に対し $(J \cap A)B \subset J$．
これらの公式は，写像による逆像と像の関係 $f^{-1}(f(I)) \supset I$，$f(f^{-1}(J)) \subset J$ からほぼ直ちに導かれます．このような関係が容易に導かれたとき，逆の包含関係が気になるものです．
多項式環 $B = \C[T]$ の部分環 $A = \C[T^2, T^5]$ を考え，$f \colon A \to B$ を包含写像とする．このとき，以下が成り立つ：
(1) $A$ のイデアル $I = (T^2)$ に対し，$T^5 \in IB \cap A$ かつ $T^5 \not\in I$．
(2) $B$ のイデアル $J = (T)$ に対し，$T \not\in (J \cap A)B$ かつ $T \in J$．
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