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プチ定義集：イデアルの拡大・縮小

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可換環の準同型によって，定義域と値域のイデアルの間に対応関係が与えられます．

イデアルの拡大・縮小

$f : A \to B$ を可換環の準同型とする．
(1) $B$ のイデアル $J$ に対し，逆像 $f^{- 1} (J)$ を $J$ の（ $f$ による）縮小という．
(2) $A$ のイデアル $I$ に対し，像 $f (I)$ が生成する $B$ のイデアルを $I$ の（ $f$ による）拡大という．

イデアルの準同型による逆像は常にイデアルになりますが，像は一般にイデアルにはなりません．この差のゆえに，縮小は単に逆像で定義されるのに対し，拡大は生成するイデアルとしてしか定義できません．
準同型によるイデアルの像がイデアルとなる場合として， $f$ が全写像のときが挙げられます．環準同型 $f : A \to B$ が全写像ならば，任意の $A$ のイデアル $I$ の像 $f (I)$ は $B$ のイデアルになります．

２つの互いに対応する操作が与えられたとき，それらの合成との関係を調べたいものです．つまり， $A$ のイデアル $I$ を拡大して縮小したら，また $B$ のイデアル $J$ を縮小して拡大したらどうなるか見てみましょう．

イデアルの拡大の縮小／縮小の拡大

$f : A \to B$ を環準同型とする．
(1) $A$ のイデアル $I$ に対し $I B \cap A \supset I$ ．
(2) $B$ のイデアル $J$ に対し $(J \cap A) B \subset J$ ．

これらの公式は，写像による逆像と像の関係 $f^{- 1} (f (I)) \supset I$ ， $f (f^{- 1} (J)) \subset J$ からほぼ直ちに導かれます．このような関係が容易に導かれたとき，逆の包含関係が気になるものです．

多項式環 $B = C [T]$ の部分環 $A = C [T^{2}, T^{5}]$ を考え， $f : A \to B$ を包含写像とする．このとき，以下が成り立つ：
(1) $A$ のイデアル $I = (T^{2})$ に対し， $T^{5} \in I B \cap A$ かつ $T^{5} \notin I$ ．
(2) $B$ のイデアル $J = (T)$ に対し， $T \notin (J \cap A) B$ かつ $T \in J$ ．