x<y なる 2 つの実数 x,y に対し,y−x>0 であるから,Archimedes の原理により 1n<y−x を満たす自然数 n が存在する。
また,m−1≤nx<m を満たす整数 m も存在する。そこで,r:=mn とおくと r は有理数である。そして,x<mn=r かつ y=x+(y−x)>m−1n+1n=r x<r<y であるから,x<r<y が成り立つ。◼
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