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解答:有理数の稠密性

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x<y なる 2 つの実数 xy に対し,yx>0 であるから,Archimedes の原理により 1n<yx を満たす自然数 n が存在する。

また,m1nx<m を満たす整数 m も存在する。
そこで,r:=mn とおくと r は有理数である。
そして,x<mn=r かつ y=x+(yx)>m1n+1n=r x<r<y であるから,x<r<y が成り立つ。

投稿日:2021126
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ひとまず,解析の基礎に関する演習問題として思いつくものを一通り形になすことを当面の目標とする。 前提知識に関するまとめの作成や,問題の配列についてはいずれどうにかしたい。 線形代数などの他の「基礎科目」についても時々投稿するつもりでいる。

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