$x< y$ なる 2 つの実数 $x$，$y$ に対し，$y-x>0$ であるから，$Archimedes$ の原理により $\frac{1}{n}< y-x$ を満たす自然数 $n$ が存在する。
また，$m-1\le nx< m$ を満たす整数 $m$ も存在する。
そこで，$r:=\frac{m}{n}$ とおくと $r$ は有理数である。
そして，$x<\frac{m}{n}=r$ かつ $y=x+(y-x)>\frac{m-1}{n}+\frac{1}{n}=r$ $x< r< y$ であるから，$x< r< y$ が成り立つ。$\blacksquare$