問題：無理数の稠密性

2 つの任意の実数 $x$ と $y$ が $x< y$ を満たすとする。

$x< r< y$ を満たす有理数 $r$ が存在すること，および $\sqrt{2}$ が無理数であることを既知として，$x< z< y$ を満たす無理数 $z$ が存在することを示せ。