2 つの実数 x,y が x<y を満たすとし,m:=x+y2 とおく。このとき,x<m<y が成り立つから,x2<p<m2 および m2<q<y2 を満たす有理数 p,q が存在する。p<q であるから,p≠0 または q≠0 が成り立つ。p≠0 のときは z:=2p,p=0 かつ q≠0 のときは z:=2q ととれば,無理数 2 と 0 と異なる有理数との積は無理数であるから,z は x<z<y を満たす無理数となる。◼
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