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解答:無理数の稠密性

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2 つの実数 $x$$y$$x< y$ を満たすとし,$m:=\frac{x+y}{2}$ とおく。
このとき,$x< m< y$ が成り立つから,
$\frac{x}{\sqrt{2}}< p<\frac{m}{\sqrt{2}}$ および $\frac{m}{\sqrt{2}}< q<\frac{y}{\sqrt{2}}$ を満たす有理数 $p$$q$ が存在する。$p< q$ であるから,$p\ne 0$ または $q\ne 0$ が成り立つ。
$p\ne 0$ のときは $z:=\sqrt{2}p$$p=0$ かつ $q\ne 0$ のときは $z:=\sqrt{2}q$ ととれば,無理数 $\sqrt{2}$$0$ と異なる有理数との積は無理数であるから,$z$$x< z< y$ を満たす無理数となる。$\blacksquare$

投稿日:2021126

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ひとまず,解析の基礎に関する演習問題として思いつくものを一通り形になすことを当面の目標とする。 前提知識に関するまとめの作成や,問題の配列についてはいずれどうにかしたい。 線形代数などの他の「基礎科目」についても時々投稿するつもりでいる。

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