2 つの実数 $x$，$y$ が $x< y$ を満たすとし，$m:=\frac{x+y}{2}$ とおく。
このとき，$x< m< y$ が成り立つから，
$\frac{x}{\sqrt{2}}< p<\frac{m}{\sqrt{2}}$ および $\frac{m}{\sqrt{2}}< q<\frac{y}{\sqrt{2}}$ を満たす有理数 $p$，$q$ が存在する。$p< q$ であるから，$p\ne 0$ または $q\ne 0$ が成り立つ。
$p\ne 0$ のときは $z:=\sqrt{2}p$，$p=0$ かつ $q\ne 0$ のときは $z:=\sqrt{2}q$ ととれば，無理数 $\sqrt{2}$ と $0$ と異なる有理数との積は無理数であるから，$z$ は $x< z< y$ を満たす無理数となる。$\blacksquare$