投稿テストと自己紹介
ごあいさつ
こんにちは、mathmathniconicoといいます。数学が趣味なので、数学してます。
活動記録
更新頻度順
- mathtod.online ：マストドンのクライアント。数式を書けるSNS
- GitHub ：ノート類を公開しています。昔作った可換環論と測度論を移行するのが現在の目標
- arXiv探訪 ：最近更新をサボりつつあるブログ。ゲームの話とかもたまに
あとはニコニコで ゆっくり学ぶ大学数学 シリーズを作ったりしてました。
最近の興味
自分は代数や解析に興味があるっぽい。
幾何代数（クリフォード代数）による初等幾何の代数的証明
幾何代数はベクトル空間に幾何積という代数構造を加えた空間である。本質的に線型代数と同等なのだが、既存の結果を綺麗に記述することができるので面白い。例えばベクトル三重積公式の証明を論理演算レベルまで落とすことができる。更にこれを用いて初等幾何の定理を純代数的に証明することができる。チェバの定理とデザルグの定理に関しては（ちょっと議論が雑だけど）ブログに書いた。
他の平面幾何や立体幾何の結果も同様に書けるはずなので、色々調べてみたい。
- 回転や角度にきちんとした説明を付けたい。
- 円などの二次曲線を扱う方法が分からない。
- より高次な曲線を扱うことができるのだろうか。
収束空間による位相的概念の記述
$\mathscr{F}\subset 2^{X}$が以下を満たすときフィルターという。
- $X\in\mathscr{F}$
- $F\in\mathscr{F}, F\subset G$なら$G\in\mathscr{F}$
- $F, G\in\mathscr{F}$なら$F\cap G\in\mathscr{F}$
各点$x\in X$にフィルターの族$\phi(x)$が与えられていて、以下を満たすとき$(X, \phi)$を収束空間という。
- $\langle x \rangle:=\lbrace F\subset X : x\in F \rbrace\in\phi(x)$
- $\mathscr{F}\in\phi(x), \mathscr{F}\subset\mathscr{G}$なら$\mathscr{G}\in\phi(x)$
- $\mathscr{F}, \mathscr{G}\in\phi(x)$なら$\mathscr{F}\cap\mathscr{G}\in\phi(x)$
収束空間の圏$\mathbf{Conv}$はカルテシアン閉であり、更に位相空間の圏$\mathbf{Top}$は$\mathbf{Conv}$の充満部分圏かつisomorphism-closedである。この意味で位相空間を収束空間の一部とみなしたとき、諸々の位相的性質のうち収束空間から来るものがどれだけあるのか、あるいは位相的であることがクリティカルな性質はどんなものかを知りたい。これは研究というよりは、既に知られた事実を整理したいという側面が大きい。
余代数による無限積表示の擬証明
詳しくは GitHub に書いた。
$\mathbb{N}_{1}=\lbrace 1, 2, \dotsc \rbrace$に$d\vert n$で順序構造を定めると、素因数分解より$\mathbb{N}_{0}=\lbrace 0, 1, 2, \dotsc \rbrace$の通常の順序の直和
$$ (\mathbb{N}_{0}, \vert)=\bigoplus_{p}(\lbrace p^{k} \rbrace, \vert)=\bigoplus_{p}(\mathbb{N}_{0}, \le) $$
で書ける。これらの半順序集合はincidence coalgebraとみなせ、双対を取ることでincidence algebraとしての同型
$$ P^{\mathrm{dual}}\simeq\prod_{p}N_{p}^{\mathrm{dual}} $$
を得る。左辺のメビウス函数を計算すると通常のメビウス函数となり、convolution積を追跡すると分解され、
$$ \sum_{n}\frac{\mu(n)}{n^{s}}=\prod_{p}(1-\frac{1}{p^{s}}) $$
という「等式」を得る。もちろん擬証明だが、ゼータ函数のオイラー積表示が得られたことになる。
- この擬証明は証明になっているのか。つまり函数論的な意味を持つのか。
- 他の函数を考えたら、無限積表示に何らかの意味を与えることができないか。
その他
組合せ論的な多項恒等式、熱力学の多様体を用いた定式化、圏論と数理論理学、函数論、……