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大学数学基礎問題
文献あり

問題:実数の自己稠密性と不等式

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問題

任意の正の実数 ε に対して aε が成り立つならば a0 であることを示せ。

使いどころ

等式変形で直接 a=b を示すのは難しいが,ab の近似列を利用して,任意の正の数 ε に対して |ab|<ε となることなら示せることが,「不等式の学問」ともいえる解析学ではしばしば起こる。そうすると,この問題で示したことから |ab|0 となり,そもそも |ab|0 であるから,|ab|=0 でしかあり得ず,a=b が従うこととなる。

これは,2 つの集合 AB について,A=BAB かつ BA のことであるという,集合の相等の定義と相通ずるところがあるように思われる。

また,数列や関数の極限に関する基本ツールである「数列の大小関係の極限の大小関係への遺伝」や「はさみうちの原理」と密接な関連を持つ定理である。

このような使用法については,いずれ先々の問題でじわじわと威力が実感されることであろう。個人的には,ϵδ 論法を教える科目の初めにこの命題を取り上げ,学生に周知するのが望ましいと考えている。

思ひ出語り

このような,a0 というなんということのない不等式の ϵδ 式の言い換えについては,森毅『現代の古典解析』の冒頭で「1. 不等式と論理」としてまるまる 1 章を割いて詳述されている。ただし,この「問題」に対する解答は私のオリジナルである(=何か誤りが含まれていたとしても森氏の著書には何の責もない)。学部生のころに大学の図書館で本を漁っていたころ,現代数学社版を見つけて少しだけ読もうと試みたことがあったが,本の内容はほとんど理解できなかった。ただこの不等式の話だけは当時強く印象に残っており,学部 4 年生のゼミで Brezis の『関数解析-その理論と応用に向けて』(小西芳雄訳)を読みかじったのだが,そこで任意の実数 c に対して acbc が成り立つならば,ba が成り立つ,という議論に遭遇した際,ああ,あのアレがこんな風に使われているのか,とようやく「1. 不等式と論理」の内容の重要性を思い知ったのだが,今となっては懐かしい思い出である。

参考文献

[1]
森毅, 現代の古典解析, ちくま学芸文庫,現代数学社
投稿日:2021126
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投稿者

ひとまず,解析の基礎に関する演習問題として思いつくものを一通り形になすことを当面の目標とする。 前提知識に関するまとめの作成や,問題の配列についてはいずれどうにかしたい。 線形代数などの他の「基礎科目」についても時々投稿するつもりでいる。

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