問題：実数の自己稠密性と不等式

問題

任意の正の実数 $\varepsilon$ に対して $a\le\varepsilon$ が成り立つならば $a\le 0$ であることを示せ。

使いどころ

等式変形で直接 $a=b$ を示すのは難しいが，$a$ や $b$ の近似列を利用して，任意の正の数 $\varepsilon$ に対して $|a-b|<\varepsilon$ となることなら示せることが，「不等式の学問」ともいえる解析学ではしばしば起こる。そうすると，この問題で示したことから $|a-b|\le 0$ となり，そもそも $|a-b|\ge 0$ であるから，$|a-b|=0$ でしかあり得ず，$a=b$ が従うこととなる。

これは，2 つの集合 $A$ と $B$ について，$A=B$ は $A\subset B$ かつ $B\subset A$ のことであるという，集合の相等の定義と相通ずるところがあるように思われる。

また，数列や関数の極限に関する基本ツールである「数列の大小関係の極限の大小関係への遺伝」や「はさみうちの原理」と密接な関連を持つ定理である。

このような使用法については，いずれ先々の問題でじわじわと威力が実感されることであろう。個人的には，$\epsilon\delta$ 論法を教える科目の初めにこの命題を取り上げ，学生に周知するのが望ましいと考えている。

思ひ出語り

このような，$a\le 0$ というなんということのない不等式の $\epsilon\delta$ 式の言い換えについては，森毅『現代の古典解析』の冒頭で「1. 不等式と論理」としてまるまる 1 章を割いて詳述されている。ただし，この「問題」に対する解答は私のオリジナルである（＝何か誤りが含まれていたとしても森氏の著書には何の責もない）。学部生のころに大学の図書館で本を漁っていたころ，現代数学社版を見つけて少しだけ読もうと試みたことがあったが，本の内容はほとんど理解できなかった。ただこの不等式の話だけは当時強く印象に残っており，学部 4 年生のゼミで Brezis の『関数解析－その理論と応用に向けて』（小西芳雄訳）を読みかじったのだが，そこで任意の実数 $c$ に対して $a\le c\to b\le c$ が成り立つならば，$b\le a$ が成り立つ，という議論に遭遇した際，ああ，あのアレがこんな風に使われているのか，とようやく「1. 不等式と論理」の内容の重要性を思い知ったのだが，今となっては懐かしい思い出である。