解答：実数の自己稠密性と不等式

示すべき命題（というよりも，実数 $a$ に関する条件）を論理式で表すと次のようになる。

$(\forall\varepsilon.\varepsilon>0\to a\le\varepsilon)\to a\le 0$.

これは次と同値である。

$\neg (\forall\varepsilon.\varepsilon>0\to a\le\varepsilon)\lor a\le 0$.

これは次と同値である。

$a\le 0\lor (\exists\varepsilon.\neg(\neg(\varepsilon>0)\lor a\le\varepsilon))$.

これは次と同値である。

$\neg(a>0)\lor(\exists\varepsilon.\varepsilon>0\land a>\varepsilon)$.

これは次と同値である。

$a>0\to(\exists\varepsilon.\varepsilon>0\land a>\varepsilon)$.

これはつまり示すべき命題（条件）の対偶であって，どんな正の実数に対しても，
それより小さい正の実数が存在する，という主張に他ならない。

そしてこの対偶は，$\varepsilon:=\frac{a}{2}$ と取れば，
$0<\frac{a}{2}< a$ であるから真であることが直ちにわかる。$\blacksquare$