解答：実数の自己稠密性と不等式

示すべき命題（というよりも，実数 $a$ に関する条件）を論理式で表すと次のようになる。

$(\mathrm{\forall }\epsilon .\epsilon >0\to a\le \epsilon )\to a\le 0$.

これは次と同値である。

$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }\epsilon .\epsilon >0\to a\le \epsilon )\vee a\le 0$.

これは次と同値である。

$a\le 0\vee (\mathrm{\exists }\epsilon .\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }(\epsilon >0)\vee a\le \epsilon ))$.

これは次と同値である。

$\mathrm{\neg }(a>0)\vee (\mathrm{\exists }\epsilon .\epsilon >0\wedge a>\epsilon )$.

これは次と同値である。

$a>0\to (\mathrm{\exists }\epsilon .\epsilon >0\wedge a>\epsilon )$.

これはつまり示すべき命題（条件）の対偶であって，どんな正の実数に対しても，
それより小さい正の実数が存在する，という主張に他ならない。

そしてこの対偶は，$\epsilon :=\frac{a}{2}$ と取れば，
$0<\frac{a}{2}<a$ であるから真であることが直ちにわかる。$◼$