$$ \int_0^1\left(\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\sin(2\arctan x)+\dfrac{2}{1+x^2}e^{\frac{1}{2}x}\cos(2\arctan x)\right)dx $$
解説
$\arctan x=\pi y$とすると,上の積分は
$$
\int_0^{\frac{1}{4}}\left(\dfrac{\pi}{2}e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}(1+\tan^2\pi y)\sin2\pi y+2\pi e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\cos2\pi y\right)dy
$$
となります.
ここで,
$$
{\rm I}_1=\int_0^{\frac{1}{4}}2\pi e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\cos2\pi ydy,\ \ {\rm I}_2=\int_0^{\frac{1}{4}}\dfrac{\pi}{2}e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}(1+\tan^2\pi y)\sin2\pi ydy
$$
とおくと,求める積分は${\rm I}_1+{\rm I}_2$となります.
$$
\begin{eqnarray*}
{\rm I}_1&=&\int_0^{\frac{1}{4}}2\pi e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\cos2\pi ydy\\
&=&\big[e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\sin2y\big]^{\frac{1}{4}}_0-\int_0^{\frac{1}{4}}\dfrac{\pi}{2}e^{\frac{1}{2}\tan{\pi y}}(1+\tan^2\pi y)\sin2\pi ydy\\
&=&\sqrt{e}-{\rm I}_2\\
{\rm I}_1+{\rm I}_2&=&\sqrt{e}
\end{eqnarray*}
$$
よって積分の答えは$\sqrt{e}$となります.