積分２

解説
$\arctan x=\pi y$とすると,上の積分は
$$ \int_0^{\frac{1}{4}}\left(\dfrac{\pi}{2}e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}(1+\tan^2\pi y)\sin2\pi y+2\pi e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\cos2\pi y\right)dy $$
となります.
ここで,
$$ {\rm I}_1=\int_0^{\frac{1}{4}}2\pi e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\cos2\pi ydy,\ \ {\rm I}_2=\int_0^{\frac{1}{4}}\dfrac{\pi}{2}e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}(1+\tan^2\pi y)\sin2\pi ydy $$
とおくと,求める積分は${\rm I}_1+{\rm I}_2$となります.
$$ \begin{eqnarray*} {\rm I}_1&=&\int_0^{\frac{1}{4}}2\pi e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\cos2\pi ydy\\ &=&\big[e^{\frac{1}{2}\tan\pi y}\sin2y\big]^{\frac{1}{4}}_0-\int_0^{\frac{1}{4}}\dfrac{\pi}{2}e^{\frac{1}{2}\tan{\pi y}}(1+\tan^2\pi y)\sin2\pi ydy\\ &=&\sqrt{e}-{\rm I}_2\\ {\rm I}_1+{\rm I}_2&=&\sqrt{e} \end{eqnarray*} $$
よって積分の答えは$\sqrt{e}$となります.