実数全体で定義された $f(x)=ax-1$ は実数全体で連続であり，$a\ne 0$ ならば $f(0)=-1<0$ かつ Archimedes の原理により $f(na)=na^2-1>0$ となる自然数 $n$ が存在するから，連続関数の中間値の定理により $f(x)=0$ かつ $x\in (\min(0,na),\max(0,na))$ を満たす実数 $x$ が存在する。