実数全体で定義された f(x)=ax−1 は実数全体で連続であり,a≠0 ならば f(0)=−1<0 かつ Archimedes の原理により f(na)=na2−1>0 となる自然数 n が存在するから,連続関数の中間値の定理により f(x)=0 かつ x∈(min(0,na),max(0,na)) を満たす実数 x が存在する。
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