解答：公比が 0 より大きく 1 より小さい等比数列の極限

ぼやき

あー，問題文も書き写しておく方が使い勝手が良いな・・・。

出題者が想定している前提知識

1. 下に有界な単調減少列は収束列である。

2. $(a_n)$ が収束列ならばその部分列 $(a_{n+1})$ も同一の極限値に収束する。

3. $f$ が連続関数で $(a_n)$ が $x$ に収束するならば $(f(a_n))$ は $f(x)$ に収束する。

解答

1. $r>0$ であるから，任意の自然数 $n$ に対して $r^{n-1}>0$（もっときっちりやるなら数学的帰納法をちゃんと使って示す），すなわち $a_n>0$ が成り立つから $(a_n)$ は下に有界である。$◼$

2. 指数法則により，$a_{n+1}=r^n=r^{1+(n-1)}=r\cdot r^{n-1}=r{a}_n$ を得る。

3. 2. で得られた漸化式により，$a_{n+1}-a_n=(r-1)a_n$ となるが，$r<1$ かつ $a_n>0$ であるから $a_{n+1}-a_n<0$ が従う。$◼$

4. $(a_n)$ は下に有界な単調減少列であることがわかったから，収束列である。
   その極限値を $x$ とおくと，漸化式 $a_{n+1}=r{a}_n$ において $n\to \mathrm{\infty }$ の極限を取ることにより，$x=rx$ が成り立つこととなるが，これより $(1-r)x=0$ を得て，$1-r\ne 0$ により $x=0$ が結論される。$◼$

参考文献

G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, 10th ed.

なんか同じ趣旨の問題が本文のどっかで解説されとった。