あー，問題文も書き写しておく方が使い勝手が良いな・・・。
下に有界な単調減少列は収束列である。
$(a_n)$ が収束列ならばその部分列 $(a_{n+1})$ も同一の極限値に収束する。
$f$ が連続関数で $(a_n)$ が $x$ に収束するならば $(f(a_n))$ は $f(x)$ に収束する。
$r>0$ であるから，任意の自然数 $n$ に対して $r^{n-1}>0$（もっときっちりやるなら数学的帰納法をちゃんと使って示す），すなわち $a_n>0$ が成り立つから $(a_n)$ は下に有界である。$\blacksquare$
指数法則により，$a_{n+1}=r^{n}=r^{1+(n-1)}=r\cdot r^{n-1}=ra_n$ を得る。
$(a_n)$ は下に有界な単調減少列であることがわかったから，収束列である。
その極限値を $x$ とおくと，漸化式 $a_{n+1}=ra_{n}$ において $n\to\infty$ の極限を取ることにより，$x=rx$ が成り立つこととなるが，これより $(1-r)x=0$ を得て，$1-r\ne 0$ により $x=0$ が結論される。$\blacksquare$
G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, 10th ed.
なんか同じ趣旨の問題が本文のどっかで解説されとった。