2 つの数列 $(a_n)$，$(b_n)$ が次の二つの条件を満たすとき，これらは同一の極限値に収束することを示せ。
任意の自然数 $n$ に対して $a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n$ が成り立つ。
$n\to\infty$ のとき $b_n−a_n\to 0$ である。
まず，条件 1 により，数列 $(a_n)$ は上に有界な（上界の一つとして，例えば $b_1$ が取れる）単調増加列であり，数列 $(b_n)$ は下に有界な（下界の一つとして，例えば $a_1$ が取れる）単調減少列であるから，どちらも収束列である。
そこで，$(a_n)$ の極限値を $a$，$(b_n)$ の極限値を $b$ とおくと，任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し，ある自然数 $N$ が存在して，$n\ge N$ を満たす任意の自然数 $n$ に対し，
\begin{align}
|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{3}\quad\text{かつ}\quad |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{3}
\end{align}
が成り立つ。
ところで，三角不等式により，任意の自然数 $n$ に対し，
\begin{align}
0&\le |b-a|=|(b-b_n)+(b_n-a_n)+(a_n-a)|\le |a_n-a|+|b_n-b|+(b_n-a_n)
\end{align}
が成り立つが（条件 1 により，任意の自然数 $n$ に対して $a_n\le b_n$ が成り立つことに注意せよ），条件 2 により，ある自然数 $M$ があって，$n\ge M$ を満たす任意の自然数 $n$ に対し，$b_n-a_n<\frac{\varepsilon}{3}$ が成り立つ。自然数 $M+N$ は $N$ 以上かつ $M$ 以上であるから，
\begin{align}
0&\le |b-a|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon
\end{align}
を得る。これが任意の正の実数 $\varepsilon$ に対して成り立つから，$a=b$ であることが従う。$\blacksquare$