ディリクレ積分の証明

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\underset{s\to +0}{lim}\mathcal{L}\left[\frac{\sin x}{x}\right](s)=\underset{s\to +0}{lim}\arctan \frac{1}{s}=\frac{\pi }{2}$$

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\underset{s\to 0}{lim}\mathcal{M}[\sin x](s)=\underset{s\to 0}{lim}\sin \frac{\pi s}{2}\mathrm{\Gamma }(s)=\frac{\pi }{2}$$

一度ネタ記事が作ってみたかったので, ふと思い出して作ってみました. たぶん既出だと思います.