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ディリクレ積分の証明

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{asn}[0]{\hspace{16pt}(\mathrm{as}\ n\to\infty)} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}} \newcommand{c}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{cb}[0]{\binom{2n}{n}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}} \newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2} \newcommand{I}[0]{\mathrm{I}} \newcommand{l}[0]{\ell} \newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{nck}[0]{\binom{n}{k}} \newcommand{p}[0]{\varphi} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{space}[0]{\hspace{12pt}} \newcommand{sumk}[1]{\sum_{k={#1}}^n} \newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{tc}[0]{\TextCenter} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

${}$

$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=\lim_{s\to+0}\mathcal{L}\left[\frac{\sin x}{x}\right](s)=\lim_{s\to+0}\arctan\frac{1}{s}=\fracπ2$$

${}$

$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=\lim_{s\to0}\mathcal{M}[\sin x](s)=\lim_{s\to0}\sin\frac{πs}{2}\Gamma(s)=\fracπ2$$

${}$

一度ネタ記事が作ってみたかったので, ふと思い出して作ってみました. たぶん既出だと思います.

${}$

投稿日:2021128

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東大理数B4です

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