センター試験の7倍角の問題を7倍角の公式で解いてみた

出典: 2014年度センター試験数学ⅡB第1問[オ]

受験生のたかしくん(仮名)が、なゆたさん(仮名)と話しています。

たかし「なゆた先生、センター試験に解けない問題があったんだ」

なゆた「たかしくんでも解けない問題があったの？」

たかし「そう。これなんだけど、$ 7 $倍角の公式を覚えていなくて。」

$$ \cos{7\theta} \cos{\theta} + \sin{7\theta} \sin{\theta} = \cos(\text{[オ]}\theta) $$

なゆた「覚えてないなら導出すればいいじゃない！！！」

たかし「でもどうやって？$ 3\theta $から$ 4\theta, \cdots, 7\theta$を順番に導出するの？それじゃあ時間がかかりすぎるよ」

なゆた「オイラーの公式って知ってるかな？」

たかし「知らないよ。授業で習ったことないから、大学で習うんじゃないかな。」

なゆた「だったら、$ \cos{\theta} + i \sin{\theta} $は見たことある？」

たかし「それは見たことあるよ。複素数の極形式で使うやつだよね。」

なゆた「そうだね。じゃあ、$ \cis{\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} $とおいて、$ \cis{n\theta} $を$ \cis{\theta} $で表してみて。$ n $は整数だよ。」

たかし「$ \cis{n\theta} = \cos{n\theta} + i \sin{n\theta} = (\cos{\theta} + i \sin{\theta})^n = (\cis{\theta})^n $だね。ド・モアブルの定理そのまんまだよ。」

なゆた「そうだね。この$ n $に$ 7 $を代入すると、どうなるかな。」

たかし「$ \cis{7\theta} = \cos{7\theta} + i \sin{7\theta} = (\cos{\theta} + i \sin{\theta})^7 $だから、二項定理で$ (\cos{\theta} + i \sin{\theta})^7 $を展開して、その実部と虚部を比較すれば$ 7 $倍角の公式ができるんだ！」

なゆた「その通り！じゃあ、やってみよう！計算の都合上、$\sin$の$2$次以上の項は全部$\cos$にしてね。」

$\begin{align*} & &&(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^7 \\ &=&& \cos^7{\theta} + 7i\cos^6{\theta}\sin{\theta} - 21\cos^5{\theta}\sin^2{\theta} - 35i\cos^4{\theta}\sin^3{\theta} \\ &&+& 35\cos^3{\theta}\sin^4{\theta} + 21i\cos^2{\theta}\sin^5{\theta} - 7\cos{\theta}\sin^6{\theta} -i\sin^7{\theta} \\ &=&& \cos^7{\theta} - 21\cos^5{\theta}\sin^2{\theta} + 35\cos^3{\theta}\sin^4{\theta} - 7\cos{\theta}\sin^6{\theta} \\ &&+& 7i\cos^6{\theta}\sin{\theta} - 35i\cos^4{\theta}\sin^3{\theta} + 21i\cos^2{\theta}\sin^5{\theta} - i\sin^7{\theta} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} & \cos{7\theta} \\ &= \cos^7{\theta} - 21\cos^5{\theta}\sin^2{\theta} + 35\cos^3{\theta}\sin^4{\theta} - 7\cos{\theta}\sin^6{\theta} \\ &= \cos^7{\theta} - 21\cos^5{\theta}(1-\cos^2{\theta}) + 35\cos^3{\theta}(1-\cos^2{\theta})^2 - 7\cos{\theta}(1-\cos^2{\theta})^3 \\ &= \begin{array}{rrrr} \cos^7{\theta} & & & \\ +21\cos^7{\theta} & -21\cos^5{\theta} & & \\ +35\cos^7{\theta} & -70\cos^5{\theta} & +35\cos^3{\theta} & \\ +7\cos^7{\theta} & -21\cos^5{\theta} & +21\cos^3{\theta} & -7\cos{\theta} \end{array} \\ &= 64\cos^7{\theta} - 112\cos^5{\theta} + 56\cos^3{\theta} - 7\cos{\theta} \end{align*}$

$\begin{align*} & \sin{7\theta} \\ &= 7\cos^6{\theta}\sin{\theta} - 35\cos^4{\theta}\sin^3{\theta} + 21\cos^2{\theta}\sin^5{\theta} - \sin^7{\theta} \\ &= 7\cos^6{\theta}\sin{\theta} - 35\cos^4{\theta}(1-\cos^2{\theta})\sin{\theta} + 21\cos^2{\theta}(1-\cos^2{\theta})^2\sin{\theta} - (1-\cos^2{\theta})^3\sin{\theta} \\ &= \begin{array}{rrrr} 7\cos^6{\theta}\sin{\theta} & & & \\ +35\cos^6{\theta}\sin{\theta} & -35\cos^4{\theta}\sin{\theta} & & \\ +21\cos^6{\theta}\sin{\theta} & -42\cos^4{\theta}\sin{\theta} & +21\cos^2{\theta}\sin{\theta} & \\ +\cos^6{\theta}\sin{\theta} & -3\cos^4{\theta}\sin{\theta} & +3\cos^2{\theta}\sin{\theta} & -\sin{\theta} \end{array} \\ &= (64\cos^6{\theta} - 80\cos^4{\theta} + 24\cos^2{\theta} - 1)\sin{\theta} \end{align*}$

たかし「$ 7 $倍角の公式が求まったよ。」

なゆた「じゃあ、元の問題を解いてみよう。」

$\begin{align*} & &&\cos{7\theta} \cos{\theta} + \sin{7\theta} \sin{\theta} \\ &=&& (64\cos^7{\theta} - 112\cos^5{\theta} + 56\cos^3{\theta} - 7\cos{\theta}) \cos{\theta} \\ &&+& (64\cos^6{\theta} - 80\cos^4{\theta} + 24\cos^2{\theta} - 1)(1-\cos^2{\theta}) \\ &=&& 64\cos^8{\theta} - 112\cos^6{\theta} + 56\cos^4{\theta} - 7\cos^2{\theta} \\ &&+& 64\cos^6{\theta} - 80\cos^4{\theta} + 24\cos^2{\theta} - 1 \\ &&-& 64\cos^8{\theta} + 80\cos^6{\theta} - 24\cos^4{\theta} + \cos^2{\theta} \\ &=&& 32\cos^6{\theta} - 48\cos^4{\theta} + 18\cos^2{\theta} - 1 \end{align*}$

たかし「これが$\cos$の何$\theta$かになるんだよね。でもこんな公式見たことないや。」

なゆた「覚えている必要はないよ。これを見て、何かに気づかない？」

$\begin{align*} \cos{2\theta} &= 2\cos^2{\theta} - 1 \\ \cos{3\theta} &= 4\cos^3{\theta} - 3\cos{\theta} \\ \cos{?\theta} &= 32\cos^6{\theta} - 48\cos^4{\theta} + 18\cos^2{\theta} - 1 \\ \cos{7\theta} &= 64\cos^7{\theta} - 112\cos^5{\theta} + 56\cos^3{\theta} - 7\cos{\theta} \\ \end{align*}$

たかし「$\cos{2\theta}$は$\cos{\theta}$の$2$次式、$\cos{3\theta}$は$\cos{\theta}$の$3$次式、$\cos{7\theta}$は$\cos{\theta}$の$7$次式だ！ということは、答えは$6$なのかな？」

なゆた「実際に$6$倍角の公式を求めて確認してみよう。」

$\begin{align*} & &&(\cos{\theta} + i \sin{\theta})^6 \\ &=&& \cos^6{\theta} + 6i\cos^5{\theta}\sin{\theta} - 15\cos^4{\theta}\sin^2{\theta} - 20i\cos^3{\theta}\sin^3{\theta} \\ &&+& 15\cos^2{\theta}\sin^4{\theta} + 6i\cos{\theta}\sin^5{\theta} -\sin^6{\theta} \\ &=&& \cos^6{\theta} - 15\cos^4{\theta}\sin^2{\theta} + 15\cos^2{\theta}\sin^4{\theta} - \sin^6{\theta} \\ &&+& 6i\cos^5{\theta}\sin{\theta} - 20i\cos^3{\theta}\sin^3{\theta} + 6i\cos{\theta}\sin^5{\theta} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} & \cos{6\theta} \\ &= \cos^6{\theta} - 15\cos^4{\theta}\sin^2{\theta} + 15\cos^2{\theta}\sin^4{\theta} - \sin^6{\theta} \\ &= \cos^6{\theta} - 15\cos^4{\theta}(1-\cos^2{\theta}) + 15\cos^2{\theta}(1-\cos^2{\theta})^2 - (1-\cos^2{\theta})^3 \\ &= \begin{array}{rrrr} \cos^6{\theta} & & & \\ +15\cos^6{\theta} & -15\cos^4{\theta} & & \\ +15\cos^6{\theta} & -30\cos^4{\theta} & +15\cos^2{\theta} & \\ +\cos^6{\theta} & -3\cos^4{\theta} & +3\cos^2{\theta} & -1 \end{array} \\ &= 32\cos^6{\theta} - 48\cos^4{\theta} + 18\cos^2{\theta} - 1 \end{align*}$

たかし「合ってる！ということは、答えは$6$だ！」

なゆた「その通り！」

そこに、りつさん(仮名)がやってきました。

りつ「なにしてるですか」

たかし「今、センター試験の問題が解けたところ。$ 7 $倍角と$ 6 $倍角の公式を導出して解いたよ。」

りつ「その問題なら、加法定理から自明ですよ」

$$ \cos{7\theta} \cos{\theta} + \sin{7\theta} \sin{\theta} = \cos(7\theta - \theta) = \cos6\theta $$

たかし・なゆた「D*MN IT!!!」