センター試験の7倍角の問題を7倍角の公式で解いてみた

出典: 2014年度センター試験数学ⅡB第1問[オ]

受験生のたかしくん(仮名)が、なゆたさん(仮名)と話しています。

たかし「なゆた先生、センター試験に解けない問題があったんだ」

なゆた「たかしくんでも解けない問題があったの？」

たかし「そう。これなんだけど、$7$倍角の公式を覚えていなくて。」

$$\cos 7\theta \cos \theta +\sin 7\theta \sin \theta =\cos \left(\text{[オ]}\theta \right)$$

なゆた「覚えてないなら導出すればいいじゃない！！！」

たかし「でもどうやって？$3\theta$から$4\theta ,\cdots ,7\theta$を順番に導出するの？それじゃあ時間がかかりすぎるよ」

なゆた「オイラーの公式って知ってるかな？」

たかし「知らないよ。授業で習ったことないから、大学で習うんじゃないかな。」

なゆた「だったら、$\cos \theta +i\sin \theta$は見たことある？」

たかし「それは見たことあるよ。複素数の極形式で使うやつだよね。」

なゆた「そうだね。じゃあ、$\mathrm{cis}\theta =\cos \theta +i\sin \theta$とおいて、$\mathrm{cis}n\theta$を$\mathrm{cis}\theta$で表してみて。$n$は整数だよ。」

たかし「$\mathrm{cis}n\theta =\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=(\mathrm{cis}\theta {)}^n$だね。ド・モアブルの定理そのまんまだよ。」

なゆた「そうだね。この$n$に$7$を代入すると、どうなるかな。」

たかし「$\mathrm{cis}7\theta =\cos 7\theta +i\sin 7\theta =(\cos \theta +i\sin \theta {)}^7$だから、二項定理で$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^7$を展開して、その実部と虚部を比較すれば$7$倍角の公式ができるんだ！」

なゆた「その通り！じゃあ、やってみよう！計算の都合上、$\sin$の$2$次以上の項は全部$\cos$にしてね。」

$\begin{array}{rlrl}& & & (\cos \theta +i\sin \theta {)}^7\\ & =& & {\cos }^7\theta +7i{\cos }^6\theta \sin \theta -21{\cos }^5\theta {\sin }^2\theta -35i{\cos }^4\theta {\sin }^3\theta \\ & & +& 35{\cos }^3\theta {\sin }^4\theta +21i{\cos }^2\theta {\sin }^5\theta -7\cos \theta {\sin }^6\theta -i{\sin }^7\theta \\ & =& & {\cos }^7\theta -21{\cos }^5\theta {\sin }^2\theta +35{\cos }^3\theta {\sin }^4\theta -7\cos \theta {\sin }^6\theta \\ & & +& 7i{\cos }^6\theta \sin \theta -35i{\cos }^4\theta {\sin }^3\theta +21i{\cos }^2\theta {\sin }^5\theta -i{\sin }^7\theta \end{array}$

よって

$\begin{array}{rl}& \cos 7\theta \\ & ={\cos }^7\theta -21{\cos }^5\theta {\sin }^2\theta +35{\cos }^3\theta {\sin }^4\theta -7\cos \theta {\sin }^6\theta \\ & ={\cos }^7\theta -21{\cos }^5\theta (1-{\cos }^2\theta )+35{\cos }^3\theta (1-{\cos }^2\theta {)}^2-7\cos \theta (1-{\cos }^2\theta {)}^3\\ & =\begin{array}{rrrr}{\cos }^7\theta & & & \\ +21{\cos }^7\theta & -21{\cos }^5\theta & & \\ +35{\cos }^7\theta & -70{\cos }^5\theta & +35{\cos }^3\theta & \\ +7{\cos }^7\theta & -21{\cos }^5\theta & +21{\cos }^3\theta & -7\cos \theta \end{array}\\ & =64{\cos }^7\theta -112{\cos }^5\theta +56{\cos }^3\theta -7\cos \theta \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \sin 7\theta \\ & =7{\cos }^6\theta \sin \theta -35{\cos }^4\theta {\sin }^3\theta +21{\cos }^2\theta {\sin }^5\theta -{\sin }^7\theta \\ & =7{\cos }^6\theta \sin \theta -35{\cos }^4\theta (1-{\cos }^2\theta )\sin \theta +21{\cos }^2\theta (1-{\cos }^2\theta {)}^2\sin \theta -(1-{\cos }^2\theta {)}^3\sin \theta \\ & =\begin{array}{rrrr}7{\cos }^6\theta \sin \theta & & & \\ +35{\cos }^6\theta \sin \theta & -35{\cos }^4\theta \sin \theta & & \\ +21{\cos }^6\theta \sin \theta & -42{\cos }^4\theta \sin \theta & +21{\cos }^2\theta \sin \theta & \\ +{\cos }^6\theta \sin \theta & -3{\cos }^4\theta \sin \theta & +3{\cos }^2\theta \sin \theta & -\sin \theta \end{array}\\ & =(64{\cos }^6\theta -80{\cos }^4\theta +24{\cos }^2\theta -1)\sin \theta \end{array}$

たかし「$7$倍角の公式が求まったよ。」

なゆた「じゃあ、元の問題を解いてみよう。」

$\begin{array}{rlrl}& & & \cos 7\theta \cos \theta +\sin 7\theta \sin \theta \\ & =& & (64{\cos }^7\theta -112{\cos }^5\theta +56{\cos }^3\theta -7\cos \theta )\cos \theta \\ & & +& (64{\cos }^6\theta -80{\cos }^4\theta +24{\cos }^2\theta -1)(1-{\cos }^2\theta )\\ & =& & 64{\cos }^8\theta -112{\cos }^6\theta +56{\cos }^4\theta -7{\cos }^2\theta \\ & & +& 64{\cos }^6\theta -80{\cos }^4\theta +24{\cos }^2\theta -1\\ & & -& 64{\cos }^8\theta +80{\cos }^6\theta -24{\cos }^4\theta +{\cos }^2\theta \\ & =& & 32{\cos }^6\theta -48{\cos }^4\theta +18{\cos }^2\theta -1\end{array}$

たかし「これが$\cos$の何$\theta$かになるんだよね。でもこんな公式見たことないや。」

なゆた「覚えている必要はないよ。これを見て、何かに気づかない？」

$\begin{array}{rl}\cos 2\theta & =2{\cos }^2\theta -1\\ \cos 3\theta & =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta \\ \cos ?\theta & =32{\cos }^6\theta -48{\cos }^4\theta +18{\cos }^2\theta -1\\ \cos 7\theta & =64{\cos }^7\theta -112{\cos }^5\theta +56{\cos }^3\theta -7\cos \theta \end{array}$

たかし「$\cos 2\theta$は$\cos \theta$の$2$次式、$\cos 3\theta$は$\cos \theta$の$3$次式、$\cos 7\theta$は$\cos \theta$の$7$次式だ！ということは、答えは$6$なのかな？」

なゆた「実際に$6$倍角の公式を求めて確認してみよう。」

$\begin{array}{rlrl}& & & (\cos \theta +i\sin \theta {)}^6\\ & =& & {\cos }^6\theta +6i{\cos }^5\theta \sin \theta -15{\cos }^4\theta {\sin }^2\theta -20i{\cos }^3\theta {\sin }^3\theta \\ & & +& 15{\cos }^2\theta {\sin }^4\theta +6i\cos \theta {\sin }^5\theta -{\sin }^6\theta \\ & =& & {\cos }^6\theta -15{\cos }^4\theta {\sin }^2\theta +15{\cos }^2\theta {\sin }^4\theta -{\sin }^6\theta \\ & & +& 6i{\cos }^5\theta \sin \theta -20i{\cos }^3\theta {\sin }^3\theta +6i\cos \theta {\sin }^5\theta \end{array}$

よって

$\begin{array}{rl}& \cos 6\theta \\ & ={\cos }^6\theta -15{\cos }^4\theta {\sin }^2\theta +15{\cos }^2\theta {\sin }^4\theta -{\sin }^6\theta \\ & ={\cos }^6\theta -15{\cos }^4\theta (1-{\cos }^2\theta )+15{\cos }^2\theta (1-{\cos }^2\theta {)}^2-(1-{\cos }^2\theta {)}^3\\ & =\begin{array}{rrrr}{\cos }^6\theta & & & \\ +15{\cos }^6\theta & -15{\cos }^4\theta & & \\ +15{\cos }^6\theta & -30{\cos }^4\theta & +15{\cos }^2\theta & \\ +{\cos }^6\theta & -3{\cos }^4\theta & +3{\cos }^2\theta & -1\end{array}\\ & =32{\cos }^6\theta -48{\cos }^4\theta +18{\cos }^2\theta -1\end{array}$

たかし「合ってる！ということは、答えは$6$だ！」

なゆた「その通り！」

そこに、りつさん(仮名)がやってきました。

りつ「なにしてるですか」

たかし「今、センター試験の問題が解けたところ。$7$倍角と$6$倍角の公式を導出して解いたよ。」

りつ「その問題なら、加法定理から自明ですよ」

$$\cos 7\theta \cos \theta +\sin 7\theta \sin \theta =\cos (7\theta -\theta )=\cos 6\theta$$

たかし・なゆた「D*MN IT!!!」