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大学数学基礎解説
自作問題の解説(積分)
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ツイート した自作問題(積分)の解説をします
$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{3}\frac{dx}{\sqrt[3]{\cos^2x}}= ?$
(解説)
\begin{align} \int_0^\frac{\pi}{3}\frac{dx}{\sqrt[3]{\cos^2x}} &=\int_0^\frac{\pi}{3}(1+\tan^2x)^\frac{1}{3}dx\\ &=\int_0^\sqrt{3}\frac{dx}{(1+x^2)^{\frac{2}{3}}}\\ &=\sqrt{3}\int_0^1\frac{dx}{(1+3x^2)^{\frac{2}{3}}}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-1}^1\frac{dx}{(1+3x^2)^\frac{2}{3}}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}\int_{-1}^1\frac{dx}{((1-x)^3+(1+x)^3)^{\frac{2}{3}}}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2^\frac{4}{3}}\int_{-1}^1\left(1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^3\right)^{-\frac{2}{3}}\frac{2dx}{(1+x)^2}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2^\frac{4}{3}}\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^3)^\frac{2}{3}}\\ &=\frac{1}{2^\frac{4}{3}\sqrt{3}}\int_0^\infty\frac{x^{\frac{1}{3}-1}}{(1+x)^\frac{2}{3}}dx\\ &=\frac{1}{2^\frac{4}{3}\sqrt{3}}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)} \end{align}
\begin{align} \int_0^\frac{\pi}{3}\frac{dx}{\sqrt[3]{\cos^2x}} &=\int_0^\frac{\pi}{3}(1+\tan^2x)^\frac{1}{3}dx\\ &=\int_0^\sqrt{3}\frac{dx}{(1+x^2)^{\frac{2}{3}}}\\ &=\sqrt{3}\int_0^1\frac{dx}{(1+3x^2)^{\frac{2}{3}}}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-1}^1\frac{dx}{(1+3x^2)^\frac{2}{3}}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}\int_{-1}^1\frac{dx}{((1-x)^3+(1+x)^3)^{\frac{2}{3}}}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2^\frac{4}{3}}\int_{-1}^1\left(1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^3\right)^{-\frac{2}{3}}\frac{2dx}{(1+x)^2}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2^\frac{4}{3}}\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^3)^\frac{2}{3}}\\ &=\frac{1}{2^\frac{4}{3}\sqrt{3}}\int_0^\infty\frac{x^{\frac{1}{3}-1}}{(1+x)^\frac{2}{3}}dx\\ &=\frac{1}{2^\frac{4}{3}\sqrt{3}}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)} \end{align}
これを簡単な形にします。
次の式を使います。
(補題)
$$\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)}=\frac{2^\frac{1}{3}\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}}$$
$$\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)}=\frac{2^\frac{1}{3}\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}}$$
(証明)
\begin{align} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)} &=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^2\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}{2^\frac{2}{3}\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}\\ &=\frac{2^\frac{1}{3}\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}} \end{align}
\begin{align} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)} &=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^2\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}{2^\frac{2}{3}\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}\\ &=\frac{2^\frac{1}{3}\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}} \end{align}
これより、
\begin{align} \int_0^\frac{\pi}{3}\frac{dx}{\sqrt[3]{\cos^2x}} &=\frac{1}{2^\frac{4}{3}\sqrt{3}}\frac{2^\frac{1}{3}\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{6}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{7}{6}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)} \end{align}
投稿日：2021年1月29日
更新日：2024年9月1日
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