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自作問題の解説(積分)

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ツイート した自作問題(積分)の解説をします

0π3dxcos2x3=?

(解説)
0π3dxcos2x3=0π3(1+tan2x)13dx=03dx(1+x2)23=301dx(1+3x2)23=3211dx(1+3x2)23=32311dx((1x)3+(1+x)3)23=324311(1+(1x1+x)3)232dx(1+x)2=32430dx(1+x3)23=124330x131(1+x)23dx=12433Γ(13)Γ(13)Γ(23)

これを簡単な形にします。
次の式を使います。

(補題)
Γ(13)2Γ(16)=213π3
(証明)
Γ(13)2Γ(16)=Γ(13)2Γ(23)Γ(16)Γ(23)=Γ(13)2π3223πΓ(13)=213π3

これより、

0π3dxcos2x3=12433213π3Γ(16)Γ(23)=π6Γ(16)Γ(23)=πΓ(76)Γ(23)

投稿日:2021129
更新日:202491
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tria_math
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